Δίσκοι στο επίπεδο

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Ενας κλειστός δίσκος στο επίπεδο είναι τα σημεία ενός κύκλου καθώς και τα εσωτερικά του.

Δίδονται κάποιοι κλειστοί δίσκοι του επιπέδου με την ιδιότητα:
Το κέντρο ενός κλειστού δίσκου δεν βρίσκεται σε κανένα από τους υπόλοιπους.

Να δειχθεί ότι κάθε σημείο του επιπέδου βρίσκεται το πολύ σε κλειστούς δίσκους.

[Demetres]

Έστω προς άτοπο ότι υπάρχει σημείο του επιπέδου το οποίο βρίσκεται μέσα σε 6 δίσκους. Έστω τα κέντρα αυτών των 6 δίσκων με ωρολογιακή σειρά. Οι γωνίες έχουν άθροισμα οπότε τουλάχιστον μία από τις γωνίες, έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας η είναι μικρότερη ή ίση των . Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι . Τότε η μεγαλύτερη γωνία του τριγώνου είναι η , και άρα η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου είναι η . Άρα το βρίσκεται στον δίσκο με κέντρο το που περιέχει το . Αυτό όμως είναι άτοπο.