Με παραστάσεις

M.S.Vovos · #1

Ένα θεματάκι που έβαλα σε τεστ στα παιδιά. Τρόμαξαν αρκετά.

Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις:

$\displaystyle{A=(1+2)^{2}+(2+3)^{2}+\cdots +(98+99)^{2}+(99+100)^{2}}$

$\displaystyle{B=\left ( 1^{2}+2^{2} \right )+\left ( 2^{2}+3^{2} \right )+\cdots +\left ( 98^{2}+99^{2} \right )+\left ( 99^{2}+100^{2} \right )}$

$\displaystyle{C=1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +98\cdot 99+99\cdot 100}$

Να εξετάσετε αν ισχύει $\displaystyle{A-B=2C}$ .

Υ.Γ. Είχα δώσει υπόδειξη να αποδείξουν την ταυτότητα $\displaystyle{(\alpha +\beta )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #2

Μάριε,

την έχω ξανά δει αυτή την άσκηση. Μπορώ να πω ότι μου άρεσε σαν ιδέα , αλλά δεν την έκανα ποτέ σε παιδιά. Anyway, έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{A} - \mathrm{B} &= \left [\left ( 1+2 \right )^2+ \left ( 2+3 \right )^2 + \cdots \left ( 99+100 \right )^2 \right ] -\left [ \left ( 1^2+2^2 \right ) + \left ( 2^2+3^2 \right )+ \cdots \left ( 99^2 +100^2 \right )\right ] \\ &= \left [ \left (1^2 +2\cdot 1 \cdot 2 + 2^2 \right ) + \left ( 2^2 +2\cdot 3 \cdot 2 + 3^2 \right )+\cdots +\left ( 99^2 +2 \cdot 99 \cdot 100 +100^2 \right ) \right ] - \\ &\qquad \qquad \qquad - \left [ \left ( 1^2+2^2 \right ) + \left ( 2^2+3^2 \right )+ \cdots +\left ( 99^2+100^2 \right ) \right ] \\ &= 2 \left ( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 +\cdots + 99\cdot 100 \right ) + \cancel{\left [ \left ( 1^2+2^2 \right ) + \left ( 2^2+3^2 \right ) + \cdots + \left ( 99^2+100^2 \right ) \right ]} - \\ & \qquad \qquad \qquad - \cancel{\left [ \left ( 1^2+2^2 \right ) + \left ( 2^2+3^2 \right ) +\cdots + \left ( 99^2+100^2 \right ) \right ]} \\ &= 2\Gamma \end{aligned}}$
Σίγουρα τα παιδιά θα τη φοβηθήκαν λόγω της σιδηρογραμμής που εμφανίστηκε μπροστά τους. Ακόμα και με την υπόδειξη δύσκολο να ξεπεράσουν το φόβο και να κάνουν το πρώτο βήμα και να δουν ότι έχουμε απλοποιήσεις.

#3

M.S.Vovos έγραψε: Τρί Ιαν 23, 2018 2:24 am Ένα θεματάκι που έβαλα σε τεστ στα παιδιά. Τρόμαξαν αρκετά.

Δίνονται οι παρακάτω παραστάσεις:

$\displaystyle{A=(1+2)^{2}+(2+3)^{2}+\cdots +(98+99)^{2}+(99+100)^{2}}$

$\displaystyle{B=\left ( 1^{2}+2^{2} \right )+\left ( 2^{2}+3^{2} \right )+\cdots +\left ( 98^{2}+99^{2} \right )+\left ( 99^{2}+100^{2} \right )}$

$\displaystyle{C=1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots +98\cdot 99+99\cdot 100}$

Να εξετάσετε αν ισχύει $\displaystyle{A-B=2C}$ .

Υ.Γ. Είχα δώσει υπόδειξη να αποδείξουν την ταυτότητα $\displaystyle{(\alpha +\beta )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}}$ .

Φιλικά,
Μάριος

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {(1 + 2)^2} = {1^2} + 2 \cdot 1 \cdot 2 + {2^2}\\ {(2 + 3)^2} = {2^2} + 2 \cdot 2 \cdot 3 + {3^2}\\ .........................................................\\ {(99 + 100)^2} = {99^2} + 2 \cdot 99 \cdot 100 + {100^2} \end{array} \right.$ και με πρόσθεση κατά μέλη

$\displaystyle A = {1^2} + 2({2^2} + {3^2} + ... + {99^2}) + {100^2} + 2(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100) = B + 2C$

Με το δίκιο τους τρόμαξαν. Τα παιδιά σ' αυτή την ηλικία (πλην ελαχίστων εξαιρέσεων) δεν μπορούν να διαχειριστούν παραστάσεις που ενδιάμεσα περιέχουν τελίτσες.

Με πρόλαβε ο Τόλης, το αφήνω.

Tolaso J Kos · #4

george visvikis έγραψε: Τρί Ιαν 23, 2018 10:11 am Με πρόλαβε ο Τόλης, το αφήνω.

Καλημέρα Γιώργο. !

Με παραστάσεις

Με παραστάσεις

Re: Με παραστάσεις

Re: Με παραστάσεις

Re: Με παραστάσεις

Μέλη σε σύνδεση