Ακτίνα του Εγγεγραμμένου

Eustathia p. · #1

Σε τρίγωνο ABC

το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει τη πλευρά

στο

.

$BC = 12\,$ και AC = 9

, ενώ το

είναι μέσο του ημικυκλίου.

Δείξετε ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

είναι

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Μια λίγο "χαζή" λύση:

Έστω $\widehat{BAC}=x$ .

Αφού το

είναι το μέσο του ημικυκλίου έχουμε πως MB=MC

, άρα αφού $\widehat{BMC}=90^o$ , έχουμε πως $\widehat{MBC}=45^o$ .

Με νόμο ημιτόνων έχουμε πως:

$\dfrac{BC}{\sin{x}}=\dfrac{AC}{\sin{45}}\Leftrightarrow \dfrac{12}{\sin{x}}=\dfrac{9}{\sin{45}}\Leftrightarrow \sin{x}=\dfrac{\sqrt{8}}{3}$ .

Άρα, προκύπτει ότι $\cos{x}=\dfrac{1}{3}$

Έχουμε πως:

$\widehat{ACB}=135^o-x$ .

Άρα:

$\sin{(135^ο-x)}=\sin{45^o+x}=\sin{45}\cos{x}+\cos{45}\sin{x}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin{x}+\cos{x})=\dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{8}+1)}{6}$

Εφαρμόζοντας πάλι νόμο ημιτόνων έχουμε ότι:

$\dfrac{AB}{\sin{135^o-x}}=\dfrac{AC}{\sin{45^o}} \Leftrightarrow AB=3(\sqrt{8}+1)$

Έχουμε πως:

$(ABC)=\dfrac{AB\cdot MC}{2}=\dfrac{3(\sqrt{8}+1)(\dfrac{BC}{\sin{45}})}{2}=9(\sqrt{8}+1)\sqrt{2}$

Όμως ξέρουμε πως:

$r\cdot t=(ABC)\Leftrightarrow r=\dfrac{18(\sqrt{8}+1)\sqrt{2}}{21+3(\sqrt{8}+1)}=\dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{8}}=3$

Ιστοσελίδα · #3

Eustathia p. έγραψε: Παρ Ιαν 26, 2018 10:44 pm Σε τρίγωνο το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει τη πλευρά στο .

$BC = 12\,$ και , ενώ το είναι μέσο του ημικυκλίου.

Δείξετε ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι .

Καλημέρα.

: shape.png (12.75 KiB) Προβλήθηκε 1231 φορές

Από το ορθογώνιο και ισοσκελές $\triangleleft MBC:MB = MC = 6\sqrt 2$ και από Π.Θ. στο $\triangleleft AMC:AM = 3$

Ισχύει $\dfrac{{AB \cdot MC}}{2}\mathop = \limits^{(ABC)} \dfrac{{(AB + BC + CA)}}{2} \cdot r \Leftrightarrow \ldots \Leftrightarrow r = 3$

STOPJOHN · #4

Eustathia p. έγραψε: Παρ Ιαν 26, 2018 10:44 pm Σε τρίγωνο το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει τη πλευρά στο .

$BC = 12\,$ και , ενώ το είναι μέσο του ημικυκλίου.

Δείξετε ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι .

Καλημέρα
Ειναι $MC\perp MB,BC=12,MB=MC=6\sqrt{2},AM^{2}=81-72\Leftrightarrow AM=3,AB=3+6\sqrt{2},$

H περίμετρος του τριγώνου $ABC,2\tau =24+6\sqrt{2},\tau =12+3\sqrt{2}$

$(ABC)=9\sqrt{2}(1+2\sqrt{2}), \rho =\dfrac{(ABC)}{\tau },\rho =\dfrac{3\sqrt{2}(1+2\sqrt{2})(4-\sqrt{2}))}{14}=3$

Γιάννης

#5

Eustathia p. έγραψε: Παρ Ιαν 26, 2018 10:44 pm Σε τρίγωνο το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει τη πλευρά στο .

$BC = 12\,$ και , ενώ το είναι μέσο του ημικυκλίου.

Δείξετε ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου είναι .

Έστω

το έγκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα του τριγώνου ABC.

: Ακτίνα του εγγεγραμμένου.png (16.29 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές

Επειδή $AC=\dfrac{3BC}{4}$ σύμφωνα με αυτήν θα είναι $\displaystyle IH||AB \Leftrightarrow r = MH.$ Αλλά λόγω της $\widehat B=45^0,$

από γνωστή άσκηση είναι BH=AC=9

κι επειδή $BM=6\sqrt 2,$ με Π. Θ βρίσκω $\displaystyle MH = 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{r=3}$

Ακτίνα του Εγγεγραμμένου

Ακτίνα του Εγγεγραμμένου

Re: Ακτίνα του Εγγεγραμμένου

Re: Ακτίνα του Εγγεγραμμένου

Re: Ακτίνα του Εγγεγραμμένου

Re: Ακτίνα του Εγγεγραμμένου

Μέλη σε σύνδεση