Συναρτησιακή

JimNt. · #1

Να προσδιοριστούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιούν την σχέση f(x)=f(cx+1)

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ όπου

θετική πραγματική σταθερά μεγαλύτερη της μονάδος. Για μαθητές.

min## · #2

Είναι $f(x)=f(\frac{x-1}{c})=f(\frac{\frac{x-1}{c}-1}{c})=...$ ,δηλαδή $f(x)=f(\frac{x-\sum_{0}^{n}c^n}{c^{n+1}})$ .Όμως, $\lim_{n->\infty }\frac{x-\sum_{0}^{n}c^n}{c^{n+1}}=\frac{-1}{c-1}$ ,και αφού η

συνεχής, είναι $f(x)=\lim_{n->\infty }f(\frac{x-\sum_{0}^{n}c^n}{c^{n+1}})=f(\frac{-1}{c-1})=k$ που ισχύει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

JimNt. έγραψε: Κυρ Ιαν 28, 2018 11:46 pm Να προσδιοριστούν οι συνεχείς συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιούν την σχέση για κάθε $x \in \mathbb{R}$ όπου θετική πραγματική σταθερά μεγαλύτερη της μονάδος. Για μαθητές.

Αφου απαντήθηκε να δούμε και την γενικότερη περίπτωση .Δηλαδή να είναι μόνο $\left | c \right |\neq 1$ .
Πάλι μόνο για μαθητές.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #4

Η αρχική λύση ισχύει γενικότερα για |c|>1

.

Εξετάζουμε τώρα την περίπτωση για |c|<1

.

Με παρόμοιο τρόπο έχουμε:

f(x)=f(cx+1)=f(c(cx+1)+1)=f(c(c(cx+1)+1)+1)=...=

$f(c^nx+c^{n-1}+c^{n-2}+...+1)=f \left( c^nx+\dfrac{c^n-1}{c-1}\right)$

Όμως $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \left( c^nx+\dfrac{c^n-1}{c-1} \right)=\dfrac{-1}{c-1}}$

Άρα και επειδή η

είναι συνεχής:

$\displaystyle{f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty} f\left(c^nx+\dfrac{c^n-1}{c-1}\right)=f\left( \lim_{n \rightarrow \infty} \left( c^nx+\dfrac{c^n-1}{c-1} \right) \right)=f\left( \dfrac{-1}{c-1} \right) = k}$ που επαληθεύει την αρχική.

#5

Μια διαφορετική προσέγγιση:

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $\displaystyle g\left( x \right) = f\left( {x - \frac{1}{{c - 1}}} \right)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Είναι

$\displaystyle f\left( {cx - \frac{1}{{c - 1}}} \right) = f\left( {c\left( {x - \frac{1}{{c - 1}}} \right) + \frac{c}{{c - 1}} - \frac{1}{{c - 1}}} \right) = f\left( {c\left( {x - \frac{1}{{c - 1}}} \right) + 1} \right) = f\left( {x - \frac{1}{{c - 1}}} \right),$

δηλαδή

$\displaystyle g\left( {cx} \right) = g\left( x \right)$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Αν $\displaystyle c = 0,$ τότε $\displaystyle g\left( x \right) = g\left( 0 \right)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Από τη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ προκύπτει εύκολα με επαγωγή ότι $\displaystyle g\left( x \right) = g\left( {{c^n}x} \right)$ και (για $\displaystyle c \ne 0$ ) ότι $\displaystyle g\left( x \right) = g\left( {\frac{x}{{{c^n}}}} \right)$ για κάθε θετικό ακέραιο

και κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Επειδή η

είναι συνεχής, έχουμε ότι:

$\bullet$ Αν $\displaystyle \left| c \right| > 1,$ τότε $\displaystyle g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } g\left( {\frac{x}{{{c^n}}}} \right) = g\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{x}{{{c^n}}}} \right) = g\left( 0 \right)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

$\bullet$ Αν $\displaystyle 0 < \left| c \right| < 1,$ τότε $\displaystyle g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } g\left( {{c^n}x} \right) = g\left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{c^n}x} \right)} \right) = g\left( 0 \right)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Σε κάθε περίπτωση, είναι $\displaystyle g\left( x \right) = g\left( 0 \right)$ , άρα και

$\displaystyle f\left( x \right) = g\left( {x + \frac{1}{{c - 1}}} \right) = g\left( 0 \right) = f\left( { - \frac{1}{{c - 1}}} \right)$

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , οπότε η

είναι σταθερή.

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση