Εφαπτομένη στο τετράγωνο

KARKAR · #1

: εφαπτομένη στο τετράγωνο.png (8.12 KiB) Προβλήθηκε 1061 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

εγγράψαμε το ορθογώνιο KLMN

.

Αν

, υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Σταμ. Γλάρος · #2

KARKAR έγραψε: Δευ Φεβ 05, 2018 10:34 am εφαπτομένη στο τετράγωνο.pngΣτο τετράγωνο εγγράψαμε το ορθογώνιο .

Αν , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Καλημέρα. Μια προσπάθεια ...

: Εφαπτομένη στο τετράγωνο.png (22.71 KiB) Προβλήθηκε 1002 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο DNP

έχουμε $\widehat{\varphi }=90^{ο} -\widehat{\eta}$ .
Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο PNM

έχουμε $\widehat{\omega}=90^{ο} -\widehat{\eta}$ .
Άρα $\widehat{\varphi }=\widehat{\omega}$ .

Επίσης τα τρίγωνα DNP

και

είναι ίσα διότι
α) ορθογώνια
β)

: κοινή
γ) $\widehat{\varphi }=\widehat{\omega}$
Συνεπώς έχουμε PD=DM

και επομένως

: διάμεσος και ύψος του ορθογωνίου τριγώνου NPM

.
Άρα $\widehat{\eta} =\widehat{\omega} =\widehat{\varphi } = 45^o$ και $\widehat{ANK} =45^o$ .
Επομένως το τρίγωνο ANK

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

Τώρα έχουμε $(KLMN)= KN \cdot NM$ (1) και $(AKN) = \dfrac{AN^2}{2}$ .
Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο από Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε : KN^2 = 2 AN^2

.
Άρα $(AKN) = \dfrac{KN^2}{4}$ (2) .
Από τις (1) και (2) προκύπτει $tan \theta =\dfrac{MN}{KN}= \dfrac{1}{4}$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

Για την εγγραφή του ορθογωνίου στο τετράγωνο .

: Εφαπτομένη στο τετράγωνο_κατασκευή.png (18.54 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Ας είναι

τυχαία σημεία των AB,AD

. Οι κάθετες στα σημεία αυτά επι την

τέμνουν τις $CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD$ στα L,M

,

Το τετράπλευρο KLMN

είναι δισορθογώνιο τραπέζιο εν γένει.

Τα τρίγωνα $BLK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DNM\,$ είναι όμοια κι αν το τετράπλευρο γίνει ορθογώνιο θα

είναι KL = MN

και άρα τα τρίγωνα αυτά θα γίνουν ίσα οπότε αναγκαστικά τα

τρίγωνα $AKN\,,\,\,BLK\,,\,\,\,DNM\,$ είναι ορθογώνια ισοσκελή .

Εφαπτομένη στο τετράγωνο

Εφαπτομένη στο τετράγωνο

Re: Εφαπτομένη στο τετράγωνο

Re: Εφαπτομένη στο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση