Τιμή του λ

Tolaso J Kos · #1

Στο παρακάτω σχήμα είναι $\hat{\rm A}=90^\circ$ , ${\rm A \Gamma}=\lambda$ , ${\rm AB}=\sqrt{1-\lambda^2}$ και $\cos \omega = 3\lambda^2 -9\lambda +4$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw (0,3)-- (0,0); \draw (0,0)-- (4,0); \draw (4,0)-- (0,2); \draw (0, 0) node[below]{\text{\gr Α}}; \draw (4,0) node[below]{\text{\gr Β}}; \draw (0, 2) node[left]{\text{\gr Γ}}; \draw[color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (0.42,0) -- (0.42,0.42) -- (0,0.42) -- (0,0) -- cycle; \draw [shift={(0,2)},color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (0,0) -- (-26.57:0.6) arc (-26.57:90:0.6) -- cycle; \draw (0.6, 2) node[right]{\text{\gr ω}}; \end{tikzpicture}}$ Ζητείται να βρεθεί η τιμή του $\lambda$ .

Τη κοιτούσαμε χθες. Τα παιδιά τη βρήκαν εξαιρετικά δύσκολη.

Τσιαλας Νικολαος · #2

Καλημέρα!! Μήπως δυσκολεύτηκαν στο να βρουν το συνημίτονο της Γ? Γιατί μετά νομίζω είναι απλή

Tolaso J Kos · #3

Και σε αυτό το σημείο... αλλά και στο σημείο ότι πρέπει να πάρουν περιορισμό για το $\lambda$ . Για να ορίζεται η παράσταση $\sqrt{1-\lambda^2}$ πρέπει να είναι $-1\leq \lambda \leq 1$ . Οπότε από τη δευτεροβάθμια εξίσωση στο τέλος πρέπει να απορριφθεί ένα $\lambda$ . Περίμενα βέβαια πως τα παιδιά δε θα έπαιρναν περιορισμούς για το $\lambda$ οπότε .....!!

#4

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Φεβ 17, 2018 9:44 am Στο παρακάτω σχήμα είναι $\hat{\rm A}=90^\circ$ , ${\rm A \Gamma}=\lambda$ , ${\rm AB}=\sqrt{1-\lambda^2}$ και $\cos \omega = 3\lambda^2 -9\lambda +4$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw (0,3)-- (0,0); \draw (0,0)-- (4,0); \draw (4,0)-- (0,2); \draw (0, 0) node[below]{\text{\gr Α}}; \draw (4,0) node[below]{\text{\gr Β}}; \draw (0, 2) node[left]{\text{\gr Γ}}; \draw[color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (0.42,0) -- (0.42,0.42) -- (0,0.42) -- (0,0) -- cycle; \draw [shift={(0,2)},color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (0,0) -- (-26.57:0.6) arc (-26.57:90:0.6) -- cycle; \draw (0.6, 2) node[right]{\text{\gr ω}}; \end{tikzpicture}}$ Ζητείται να βρεθεί η τιμή του $\lambda$ .

Τη κοιτούσαμε χθες. Τα παιδιά τη βρήκαν εξαιρετικά δύσκολη.

Δικαιολογημένα δυσκολεύτηκαν. Για να δούμε...

● Πρώτα βρίσκουμε με Πυθαγόρειο την $\displaystyle B\Gamma = 1$

● Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι η γωνία $\omega$ και η γωνία $\widehat \Gamma$ του τριγώνου είναι παραπληρωματικές.
$\displaystyle \cos \omega = - \cos \Gamma = - \lambda \Leftrightarrow 3{\lambda ^2} - 8\lambda + 4 = 0 \Leftrightarrow \lambda = \frac{2}{3} \vee \lambda = 2$

● Τέλος, ελέγχουμε αν οι τιμές που βρήκαμε επαληθεύουν τις υποθέσεις της άσκησης. Πράγματι, η τιμή $\boxed{\lambda = \frac{2}{3}}$ είναι δεκτή,

ενώ η τιμή $\displaystyle \lambda = 2$ απορρίπτεται γιατί τότε δεν ορίζεται η παράσταση ${\rm AB}=\sqrt{1-\lambda^2}$

ΥΓ. Το ίδιο θα συμβεί αν αντικαταστήσουμε τις τιμές στο συνημίτονο, τότε θα βρούμε για $\displaystyle \lambda = 2$ ότι $\displaystyle \cos \omega = - 2$ που επίσης απορρίπτεται.

Τσιαλας Νικολαος · #5

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Φεβ 17, 2018 10:29 am Και σε αυτό το σημείο... αλλά και στο σημείο ότι πρέπει να πάρουν περιορισμό για το $\lambda$ . Για να ορίζεται η παράσταση $\sqrt{1-\lambda^2}$ πρέπει να είναι $-1\leq \lambda \leq 1$ . Οπότε από τη δευτεροβάθμια εξίσωση στο τέλος πρέπει να απορριφθεί ένα $\lambda$ . Περίμενα βέβαια πως τα παιδιά δε θα έπαιρναν περιορισμούς για το $\lambda$ οπότε .....!!

Θεωρώ ότι η παγίδα του περιορισμού δεν είναι και τόσο παγίδα μιας και με επαλήθευση όπως έκανε ο κύριος γιώργος το απορρίπτεις. Αν και προσωπικά απαιτώ από τους μαθητές μου να παίρνουν περιορισμούς από την αρχή.

Tolaso J Kos · #6

george visvikis έγραψε: Σάβ Φεβ 17, 2018 10:34 am
● Τέλος, ελέγχουμε αν οι τιμές που βρήκαμε επαληθεύουν τις υποθέσεις της άσκησης. Πράγματι, η τιμή $\boxed{\lambda = \frac{2}{3}}$ είναι δεκτή,

ενώ η τιμή $\displaystyle \lambda = 2$ απορρίπτεται γιατί τότε δεν ορίζεται η παράσταση ${\rm AB}=\sqrt{1-\lambda^2}$

ΥΓ. Το ίδιο θα συμβεί αν αντικαταστήσουμε τις τιμές στο συνημίτονο, τότε θα βρούμε για $\displaystyle \lambda = 2$ ότι $\displaystyle \cos \omega = - 2$ που επίσης απορρίπτεται.

Γιώργο,

πολύ ωραία. Αυτό που παρατηρώ όμως είναι ότι τα παιδιά αυτών των τάξεων ( με κάποιες εξαιρέσεις ) σχεδόν ποτέ δε κάνουν επαλήθευση. Αν δε τους πεις «ελέγχουν οι τιμές που βρήκατε τις υποθέσεις ;» οι περισσότεροι δε θα μπουν στο κόπο να το ελέγξουν.

Κατά τα άλλα πολύ ωραία λύση η οποία αποφεύγει τους περιορισμούς του $\lambda$ στην αρχή όπου χρειάζεται να λυθεί η ανίσωση $|\lambda| \leq 1$ .

#7

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Σάβ Φεβ 17, 2018 10:39 am Θεωρώ ότι η παγίδα του περιορισμού δεν είναι και τόσο παγίδα μιας και με επαλήθευση όπως έκανε ο κύριος γιώργος το απορρίπτεις. Αν και προσωπικά απαιτώ από τους μαθητές μου να παίρνουν περιορισμούς από την αρχή.

Αυτό είναι το πιο σωστό, αλλά τα παιδιά της Γ Γυμνασίου δεν είναι τόσο εξοικειωμένα με τους περιορισμούς στις άρρητες

παραστάσεις. Εξάλλου δεν ξέρω πώς ένας μαθητής αυτής της τάξης θα λύσει την ανίσωση $1-\lambda ^2\ge 0$

Τσιαλας Νικολαος · #8

george visvikis έγραψε: Σάβ Φεβ 17, 2018 10:54 am
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Σάβ Φεβ 17, 2018 10:39 am Θεωρώ ότι η παγίδα του περιορισμού δεν είναι και τόσο παγίδα μιας και με επαλήθευση όπως έκανε ο κύριος γιώργος το απορρίπτεις. Αν και προσωπικά απαιτώ από τους μαθητές μου να παίρνουν περιορισμούς από την αρχή.
Αυτό είναι το πιο σωστό, αλλά τα παιδιά της Γ Γυμνασίου δεν είναι τόσο εξοικειωμένα με τους περιορισμούς στις άρρητες

παραστάσεις. Εξάλλου δεν ξέρω πώς ένας μαθητής αυτής της τάξης θα λύσει την ανίσωση $1-\lambda ^2\ge 0$

Δεν έχετε άδικο σε αυτό!! Απλά έχω και παιδιά πολύ μικρότερα που μου το έχουν βγάλει με το μυαλό τέτοιους περιορισμούς(!!!) όποτε μου ξέφυγε η αντικειμενική δυσκολία του

Tolaso J Kos · #9

Γιώργο,

όταν έκανα ανισώσεις στη Γ Γυμνασίου έθιξα κάπως την ανίσωση με απόλυτο. Συγκεκριμένα είχα ζητήσει από το μαθητή να μου λύσει την ανίσωση $\left| x \right| \leq 1$ . Η προσέγγιση που του έκανα ήταν γραφικά. Συγκεκριμένα είχα ζωγραφίσει την ευθεία των πραγματικών αριθμών

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw [thick] (-4, 0)-- (4, 0); \draw (-3, 0) node[below]{-3}; \draw (-2, 0) node[below]{-2}; \draw (-1,0) node[below]{-1}; \draw (0, 0) node[below]{0}; \draw (1, 0) node[below]{1}; \draw (2, 0) node[below]{2}; \draw (3,0) node[below]{3}; \draw [dashed] (1, -0.8)-- (1, 0.5); \draw [dashed] (-1, -0.8) -- (-1, 0.5); \draw [thick, red] (-1, 0)-- (1,0); \draw [red, fill=red](-1, 0) circle(2pt); \draw [red, fill=red] (1, 0) circle(2pt); \end{tikzpicture}}$ και άρχισα να διαλέγω αριθμούς από συγκεκριμένα διαστήματα και να ρωτάω αν αυτοί ικανοποιούν την ανίσωση. Καταλήξαμε στο τέλος ότι οι μόνοι αριθμοί που ικανοποιούν τη δοσμένη ανίσωση είναι αυτοί που ανήκουν στη κόκκινη λωρίδα. O μαθητής φάνηκε να διασκεδάζει τη συγκεκριμένη διαδικασία και να καταλαβαίνει περίπου τι γίνεται.

Φυσικά δεν επεκτάθηκα άλλο και έμεινα σε αυτή τη διαισθητική προσέγγιση αλλιώς θα έπρεπε να πω τις σχετικές προτάσεις.

#10

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Φεβ 17, 2018 11:19 am Γιώργο,

όταν έκανα ανισώσεις στη Γ Γυμνασίου έθιξα κάπως την ανίσωση με απόλυτο. Συγκεκριμένα είχα ζητήσει από το μαθητή να μου λύσει την ανίσωση $\left| x \right| \leq 1$ . Η προσέγγιση που του έκανα ήταν γραφικά. Συγκεκριμένα είχα ζωγραφίσει την ευθεία των πραγματικών αριθμών

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw [thick] (-4, 0)-- (4, 0); \draw (-3, 0) node[below]{-3}; \draw (-2, 0) node[below]{-2}; \draw (-1,0) node[below]{-1}; \draw (0, 0) node[below]{0}; \draw (1, 0) node[below]{1}; \draw (2, 0) node[below]{2}; \draw (3,0) node[below]{3}; \draw [dashed] (1, -0.8)-- (1, 0.5); \draw [dashed] (-1, -0.8) -- (-1, 0.5); \draw [thick, red] (-1, 0)-- (1,0); \draw [red, fill=red](-1, 0) circle(2pt); \draw [red, fill=red] (1, 0) circle(2pt); \end{tikzpicture}}$ και άρχισα να διαλέγω αριθμούς από συγκεκριμένα διαστήματα και να ρωτάω αν αυτοί ικανοποιούν την ανίσωση. Καταλήξαμε στο τέλος ότι οι μόνοι αριθμοί που ικανοποιούν τη δοσμένη ανίσωση είναι αυτοί που ανήκουν στη κόκκινη λωρίδα. O μαθητής φάνηκε να διασκεδάζει τη συγκεκριμένη διαδικασία και να καταλαβαίνει περίπου τι γίνεται.

Φυσικά δεν επεκτάθηκα άλλο και έμεινα σε αυτή τη διαισθητική προσέγγιση αλλιώς θα έπρεπε να πω τις σχετικές προτάσεις.

Ωραία προσέγγιση Τόλη.

Μπορείς να το κάνεις και αλγεβρικά (όπως το είχαν τα παλιά βιβλία), αφού τα παιδιά ξέρουν πια παραγοντοποίηση .

$\displaystyle {x^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1) < 0$ που σημαίνει ότι οι παραστάσεις x+1, x-1

είναι ετερόσημες.

Επειδή όμως $\displaystyle x + 1 > x - 1,$ θα είναι x+1>0

και

οπότε $\boxed{-1<x<1}$

panagiotis iliopoulos · #11

Επειδή ΑΒ πραγματικός πρέπει $1-l^{2}> 0$ $\Rightarrow -1< l< 1$ . Αφού l θετικός 0< l< 1

.
$cos(180-w)=cos180cosw+sin180sinw\Leftrightarrow cos(180-w)=-cosw\Leftrightarrow cos(180-w)=(-3l^{2}+9l-4\Rightarrow -3l^{2}+9l-4=\frac{l}{1}=l\Leftrightarrow 3l^{2}-8l+4=0\Leftrightarrow l_{1}=2 , l_{2}=\frac{2}{3}$
Η λύση l=2

απορρίπτεται από τον περιορισμό. Οπότε $l=\frac{2}{3}$ .

Τιμή του λ

Τιμή του λ

Re: Τιμή του λ

Re: Τιμή του λ

Re: Τιμή του λ

Re: Τιμή του λ

Re: Τιμή του λ

Re: Τιμή του λ

Re: Τιμή του λ

Re: Τιμή του λ

Re: Τιμή του λ

Re: Τιμή του λ

Μέλη σε σύνδεση