Ο αριθμός π...

M.S.Vovos · #1

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty }\left ( -\frac{1}{4} \right )^{n}\left ( \frac{2}{1+4n}+\frac{1}{3+4n}+\frac{1}{1+2n} \right )=\pi }$ .

Κάπου το είχα δει αλλά δε θυμάμαι που .

Φιλικά,
Μάριος

Tolaso J Kos · #2

Πρόκειται για τις γνωστές σειρές BBP. Η απόδειξη δεν είναι δύσκολη αλλά είναι αρκετά κουραστική. Παραπέμπω στο paper εδώ. Υπάρχουν και άλλα ενδιαφέροντα αποτελέσματα που αφορούν άλλους γνωστούς αριθμούς όπως π.χ το

. Μία τέτοια σειρά είναι η ακόλουθη:

$\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \left(\left(\frac{1}{4}\right)^k \cdot \frac{4k+3}{(4k+2)\cdot((2k)!)}\right)=e}$ Περισσότερα για τις σειρές BBP εδώ.

dement · #3

Ισχύει $\displaystyle \frac{2}{1+4n} + \frac{1}{3+4n} + \frac{1}{1+2n} = \int_0^1 \left( 2x^{4n} + x^{4n+2} + x^{2n} \right) \mathrm{d}x$

Έτσι, λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης όλων των ακολουθιών στο [0,1]

, μπορούμε να γράψουμε το ζητούμενο (αφού αθροίσουμε τις άπειρες γεωμετρικές προόδους) ως:

$\displaystyle \int_0^1 \frac{2 + x^2}{1 + x^4/4} \mathrm{d}x + \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2/4} \mathrm{d}x = \int_0^1 \left( \frac{2 + x^2}{1 + x^4/4} + \frac{2x}{1 + x^4/4} \right) \mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{4}{1 + (x-1)^2} \mathrm{d}x = \pi$

Ο αριθμός π...

Ο αριθμός π...

Re: Ο αριθμός π...

Re: Ο αριθμός π...

Μέλη σε σύνδεση