Υπάρχει οξεία γωνία;

Tolaso J Kos · #1

Είχαμε δει πριν καιρό με τα παιδιά την ακόλουθη άσκηση η οποία τους φάνηκε δύσκολη.

Έστω $\alpha>\beta>0$ . Μπορεί να οριστεί οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου τέτοια ώστε
$\displaystyle{\sin \varphi = \frac{2\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2}}$ Αν η απάντηση είναι καταφατική, τότε να υπολογιστεί και το $\cos \varphi$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Φεβ 20, 2018 8:18 am Είχαμε δει πριν καιρό με τα παιδιά την ακόλουθη άσκηση η οποία τους φάνηκε δύσκολη.

Έστω $\alpha>\beta>0$ . Μπορεί να οριστεί οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου τέτοια ώστε
$\displaystyle{\sin \varphi = \frac{2\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2}}$ Αν η απάντηση είναι καταφατική, τότε να υπολογιστεί και το $\cos \varphi$ .

Η απάντηση είναι ΝΑΙ. Για παράδειγμα αν $\displaystyle \alpha = 2,\beta = 1$ τότε $\displaystyle \sin \varphi = \frac{4}{5}$ και η $\displaystyle \varphi$ ορίζεται ως οξεία γωνία ορθογωνίου

τριγώνου με απέναντι πλευρά

και υποτείνουσα

Γενικά τώρα:

$\displaystyle {\cos ^2}\varphi = 1 - {\sin ^2}\varphi = 1 - \frac{{4{\alpha ^2}{\beta ^2}}}{{{{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2}}} = \frac{{{{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2} - 4{\alpha ^2}{\beta ^2}}}{{{{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2}}} = \frac{{{{({\alpha ^2} - {\beta ^2})}^2}}}{{{{({\alpha ^2} + {\beta ^2})}^2}}}$

κι επειδή η γωνία είναι οξεία θα είναι $\displaystyle \cos \varphi = \frac{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}$

Tolaso J Kos · #3

Επειδή η άσκηση ήταν στις ταυτότητες δόθηκε η εξής λύση:

Επειδή $(\alpha-\beta)^2 \geq 0$ τότε είναι $\alpha^2+\beta^2 \geq 2\alpha \beta$ . Οπότε $\displaystyle{0 \leq \frac{2\alpha \beta}{\alpha^2 + \beta^2} \leq 1}$ . Οπότε ο αριθμός αυτός είναι τριγωνομετρικός αριθμός ημιτόνου. Πιο συγκεκριμένα επειδή $\alpha>\beta>0$ οι ισότητες δε πιάνονται άρα ΝΑΙ υπάρχει οξεία γωνία με ημίτονο αυτόν τον αριθμό....

Και τα λοιπά.

#4

Αφού $a > b > 0 \Rightarrow 0 < \dfrac{b}{a} < 1$ . Θέτω $\dfrac{b}{a} = x \in (0,1) \Rightarrow b = ax$ . Έτσι

$\sin \phi = \dfrac{{2{a^2}x}}{{{a^2} + {a^2}{x^2}}} = \dfrac{{2x}}{{1 + {x^2}}} \leqslant 1 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} \geqslant 0$ . Αλλά δεν μπορεί x = 1

οπότε :

$\boxed{\sin \phi = \dfrac{{2x}}{{1 + {x^2}}} \in (0,1)}$ . Καταφατική απάντηση .

#5

Μια και είμαστε στις ταυτότητες, εύκολα διαπιστώνουμε ότι: $\displaystyle {({\alpha ^2} + {\beta ^2})^2} = {(2\alpha \beta )^2} + {({\alpha ^2} - {\beta ^2})^2}$

: sinφ.png (5.13 KiB) Προβλήθηκε 1350 φορές

Άρα οι $\displaystyle {\alpha ^2} - {\beta ^2},2\alpha \beta ,{\alpha ^2} + {\beta ^2}$ είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα $\displaystyle {\alpha ^2} + {\beta ^2}$

Οπότε υπάρχει οξεία γωνία $\varphi,$ ώστε $\displaystyle \sin \varphi = \frac{{2\alpha \beta }}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}$ και $\displaystyle \cos \varphi = \frac{{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}$

#6

Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Φεβ 20, 2018 8:18 am Είχαμε δει πριν καιρό με τα παιδιά την ακόλουθη άσκηση η οποία τους φάνηκε δύσκολη.

Έστω $\alpha>\beta>0$ . Μπορεί να οριστεί οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου τέτοια ώστε
$\displaystyle{\sin \varphi = \frac{2\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2}}$

Καλησπέρα σε όλους.
Να πω κατ' αρχάς ότι κι εγώ έχω χρησιμοποιήσει παρόμοιες διατυπώσεις σε βιβλία για το Γυμνάσιο.

Κοιτώντας τις ξανά μού γεννιέται ο προβληματισμός: Πώς θα αντιδράσουμε σε (υποθετική) ερώτηση μαθητή: "Ξέρουμε ότι κάθε ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας είναι αριθμός θετικός μικρότερος του

. Πώς όμως ξέρουμε ότι κάθε αριθμός

, με

είναι ημίτονο ή συνημίτονο κάποιας γωνίας;".

Στη Β΄ Λυκείου μπορεί να εξηγηθεί στον τριγωνομετρικό άξονα, δείχνοντας (εποπτικά έστω) την έννοια της συνέχειας στην αντιστοίχιση κάθε τόξου με την προβολή του στους άξονες. Στο Γυμνάσιο όμως πώς;

Σταμ. Γλάρος · #7

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Τρί Φεβ 20, 2018 8:06 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Τρί Φεβ 20, 2018 8:18 am Είχαμε δει πριν καιρό με τα παιδιά την ακόλουθη άσκηση η οποία τους φάνηκε δύσκολη.

Έστω $\alpha>\beta>0$ . Μπορεί να οριστεί οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου τέτοια ώστε
$\displaystyle{\sin \varphi = \frac{2\alpha \beta}{\alpha^2+\beta^2}}$
Καλησπέρα σε όλους.
Να πω κατ' αρχάς ότι κι εγώ έχω χρησιμοποιήσει παρόμοιες διατυπώσεις σε βιβλία για το Γυμνάσιο.

Κοιτώντας τις ξανά μού γεννιέται ο προβληματισμός: Πώς θα αντιδράσουμε σε (υποθετική) ερώτηση μαθητή: "Ξέρουμε ότι κάθε ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας είναι αριθμός θετικός μικρότερος του . Πώς όμως ξέρουμε ότι κάθε αριθμός , με είναι ημίτονο ή συνημίτονο κάποιας γωνίας;".

Στη Β΄ Λυκείου μπορεί να εξηγηθεί στον τριγωνομετρικό άξονα, δείχνοντας (εποπτικά έστω) την έννοια της συνέχειας στην αντιστοίχιση κάθε τόξου με την προβολή του στους άξονες. Στο Γυμνάσιο όμως πώς;

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια εξήγησης ...
Αφού ο

είναι ένας πραγματικός αριθμός μεταξύ του

και του

, μπορούμε να υποθέσουμε
ότι υπάρχουν δύο θετικοί, πραγματικοί αριθμοί $\beta , \gamma$ τέτοιοι ώστε: $x=\dfrac{\beta }{\gamma }$ με $\beta < \gamma$ ,
αφού το κλάσμα είναι μικρότερο της ακεραίας μονάδας.

Στη συνέχεια πάνω σε δύο κάθετους άξονες σχεδιάζουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα τέτοια ώστε:
$AB= \gamma$ και $A\Gamma = \beta$ , όπως στο σχήμα παρακάτω.

: Υπάρχει οξεία γωνία;.png (7.61 KiB) Προβλήθηκε 1238 φορές

Από τα παραπάνω έχουμε : $\eta \mu \varphi = \dfrac{\beta}{\alpha }$ , $\sigma \upsilon \nu \varphi =\dfrac{\gamma }{\alpha }$ κλπ.
Δεν ξέρω αν βοηθάει ...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Υπάρχει οξεία γωνία;

Υπάρχει οξεία γωνία;

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

Re: Υπάρχει οξεία γωνία;

Μέλη σε σύνδεση