SEEMOUS 2018/3

#1

Έστω πίνακες $A,B \in \mathcal{M}_{2018}(\mathbb{R})$ ώστε AB = BA

και $A^{2018} = B^{2018} = I$ .

Αν $\mathrm{Tr}(AB) = 2018$ , να δειχθεί ότι $\mathrm{Tr}(A) = \mathrm{Tr}(B)$ .

dement · #2

Αφού $A^{2018} = B^{2018} = (AB)^{2018} = I$ , οι A, B, AB

είναι διαγωνιοποιήσιμοι. Επίσης, οι ιδιοτιμές του

είναι όλες 2018

-οστές ρίζες της μονάδας και, αφού το άθροισμά τους είναι 2018

, πρέπει να είναι όλες

. Λόγω του διαγωνιοποιήσιμου, έχουμε $AB = I \implies B = A^{-1}$ .

Έτσι, για κάθε ιδιοτιμή

του

(επίσης

-οστή ρίζα της μονάδας), η $r^{-1} = \bar{r}$ θα είναι ιδιοτιμή του

(με την ίδια αλγεβρική πολλαπλότητα). Αλλά, αφού οι πίνακες είναι πραγματικοί, οι ιδιοτιμές είναι ζεύγη συζυγών. Οπότε τα αθροίσματά τους είναι ίσα και $\mathrm{Tr}A = \mathrm{Tr}B$ .

SEEMOUS 2018/3

SEEMOUS 2018/3

Re: SEEMOUS 2018/3

Μέλη σε σύνδεση