SEEMOUS 2018/2

#1

Έστω πίνακες $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}), B \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), C \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$ και $D \in \mathcal{M}_{q,m}(\mathbb{R})$ όπου m,n,p,q

θετικοί ακέραιοι, ώστε

$\displaystyle A^t = BCD, B^t = CDA, C^t = DAB$ και D^t = ABC

.

Να δειχθεί ότι (ABCD)^2 = ABCD

.

#2

Έστω $\displaystyle X = ABCD \in {\mathcal{M}_{m,m}}\left( \mathbb{R} \right).$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle X = A{A^t}$ και άρα ο πίνακας $\displaystyle X$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Επίσης, είναι:

$\displaystyle {X^3} = \left( {ABC} \right)\left( {DAB} \right)\left( {CDA} \right)\left( {BCD} \right) = {D^t}{B^t}{C^t}{A^t} = {\left( {ABCD} \right)^t} = {X^t} = X.$

Ο πίνακας $\displaystyle X$ είναι διαγωνοποιήσιμος, με ιδιοτιμές που ανήκουν στο σύνολο $\displaystyle \left\{ { - 1,0,1} \right\}.$ Αφού, όμως, ο $\displaystyle X$ είναι θετικά ορισμένος, ο αριθμός $\displaystyle { - 1}$ δεν μπορεί να είναι ιδιοτιμή του $\displaystyle X$ . Άρα, οι ιδιοτιμές του $\displaystyle X$ ανήκουν στο σύνολο $\displaystyle \left\{ {0,1} \right\},$ οπότε θα είναι $\displaystyle {X^2} = X$ και το ζητούμενο δείχθηκε.

SEEMOUS 2018/2

SEEMOUS 2018/2

Re: SEEMOUS 2018/2

Μέλη σε σύνδεση