Τριγωνομετρική ανισότητα

Tolaso J Kos · #1

Για οποιαδήποτε γωνία $\theta$ με $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ αποδείξατε ότι:
$\displaystyle{\left( \sin \theta + \cos \theta \right)^2 \leq 2}$
Τη κοιτάξαμε σήμερα και αυτή με τα παιδιά. Τη βρήκαν αρκετά δύσκολη.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Μαρ 09, 2018 10:32 pm Για οποιαδήποτε γωνία $\theta$ με $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ αποδείξατε ότι:
$\displaystyle{\left( \sin \theta + \cos \theta \right)^2 \leq 2}$
Τη κοιτάξαμε σήμερα και αυτή με τα παιδιά. Τη βρήκαν αρκετά δύσκολη.

Ναι, θα έλεγα ότι είναι λίγο δύσκολη για Γ' Γυμνασίου. Όχι γιατί είναι πραγματικά δύσκολη αλλά γιατί δεν ξέρουν από που να αρχίσουν.

Υπάρχουν πολλές λύσεις εντός ύλης, και δίνω μία από αυτές:

$\displaystyle{ ( \sin \theta + \cos \theta )^2= \sin ^2 \theta +2 \sin \theta \cos \theta + \cos ^2 \theta = }$

$\displaystyle{ = 2( \sin ^2\theta + \cos ^2\theta ) - ( \sin \theta - \cos \theta)^2 = 2 - ( \sin \theta - \cos \theta)^2 \le 2}$

#3

Διαφορετικά. (Δεν γνωρίζω αν είναι εντός ύλης)

$\displaystyle \sin{\vartheta} + \cos{\vartheta} = \sqrt{2}\left(\sin{\vartheta}\cos{45^{\circ}} + \cos{\vartheta}\sin{45^{\circ}} \right) = \sqrt{2}\sin(\vartheta + 45^{\circ})$

Οπότε $\displaystyle (\sin{\vartheta} + \cos{\vartheta} )^2 = 2\sin^2{(\vartheta + 45^{\circ}) \leqslant 2}$

Tolaso J Kos · #4

Όχι Δημήτρη,

αυτά τα βλέπει ο μαθητής στη Β' Λυκείου....

mathfinder · #5

Ή λίγο διαφορετικά :
$\left ( sin\theta +cos\theta \right )^{2}\leq 2\Leftrightarrow sin^{2}\theta +2sin\theta cos\theta +cos^{2}\theta \leq2\left (sin^{2}\theta +cos^{2}\theta \right )\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\sin^{2}\theta+cos^{2}\theta-2sin\theta cos\theta \geq0\Leftrightarrow \left ( sin\theta -cos\theta \right )^{2}\geq 0$
που ισχύει .

Αθ. Μπεληγιάννης

#6

Αποστόλη καλησπέρα.

Να παρατηρήσω κατ' αρχήν ότι για τη Β΄ Λυκείου είναι μια άσκηση ρουτίνας.

Είναι $\displaystyle {\left( {\eta \mu \theta + \sigma \upsilon \nu \theta } \right)^2} = \eta {\mu ^2}\theta + 2\eta \mu \theta \sigma \upsilon \nu \theta + \sigma \upsilon {\nu ^2}\theta = 1 + \eta \mu 2\theta$ για κάθε τόξο $\displaystyle \theta$ .

Είναι $\displaystyle \eta \mu 2\theta \le 1$ για κάθε τόξο $\displaystyle \theta$ οπότε $\displaystyle 1 + \eta \mu 2\theta \le 2$ άρα ισχύει και η αρχική.

Ας έλθουμε τώρα στη Γ΄ Γυμνασίου. Έχουμε πολλές επιλογές στη διδασκαλία μας, κι αυτές εξαρτώνται από το τι θέλουμε και σε ποιους μαθητές θέλουμε να διδάξουμε.(*)

(*) Σύμφωνα με την παραπομπή σε βιβλία για τη Διδακτική του Νίκου Μαυρογιάννη ΕΔΩ.

Αν έχεις απέναντί σου μαθητές με όρεξη για κάτι παραπάνω, με σωστές βάσεις και θέλεις να επεκταθείς και σε άλλες έννοιες (ΕΝΤΟΣ ΥΛΗΣ) της Γ΄ Γυμνασίου, προτείνω και το εξής:

: 11-03-2018 Γ' Γυμνασίου.jpg (29.86 KiB) Προβλήθηκε 1440 φορές

Για κάθε γωνία $\displaystyle \theta$ με $\displaystyle 0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ είναι $\displaystyle \eta \mu \theta = \frac{y}{\rho },\;\;\sigma \upsilon \nu \theta = \frac{x}{\rho }$ , οπότε

$\displaystyle {\left( {\eta \mu \theta + \sigma \upsilon \nu \theta } \right)^2} = {\left( {\frac{x}{\rho } + \frac{y}{\rho }} \right)^2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{\rho ^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 2xy}}{{{\rho ^2}}} = \frac{{{\rho ^2} + 2xy}}{{{\rho ^2}}} = 1 + \frac{{2xy}}{{{\rho ^2}}}$ .

Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle \frac{{2xy}}{{{\rho ^2}}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{{xy}}{2} \le \frac{{{\rho ^2}}}{4}$ .

Αν είναι $\displaystyle \theta = 0^\circ$ ή $\displaystyle 90^\circ \le \theta \le 180^\circ$ η ανισότητα ισχύει προφανώς, αφού $\displaystyle xy \le 0$ .

Αν είναι $\displaystyle 0^\circ < \theta < 90^\circ$ , τότε $\displaystyle \frac{{xy}}{2} = \left( {{\rm M}{\rm A}{\rm O}} \right)$ .

Έστω $\displaystyle \upsilon$ το ύψος στην υποτείνουσα

του ορθογωνίου MAO

.

Τότε $\displaystyle \upsilon \le \frac{\rho }{2}$ που είναι το μήκος της διαμέσου στην υποτείνουσα.

Οπότε $\displaystyle \frac{{{\rho ^2}}}{4} = \frac{{\frac{\rho }{2} \cdot \rho }}{2} \ge \frac{{\upsilon \rho }}{2} = \left( {{\rm M}{\rm A}{\rm O}} \right)$ και αποδείξαμε την ανισότητά μας.

Ρώτησέ τους κατόπιν: Πότε ισχύει το «ίσον»;

Τριγωνομετρική ανισότητα

Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Re: Τριγωνομετρική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση