Άλγεβρα β λυκειου

Aleksandros1 · #1

Είμαι καινούργιος στο mathematica θα ηθελα την βοήθεια σας για δύο ζητήματα εάν διαθέτετε χρόνο για να ασχοληθείτε
α) e^x-e^-x=y

να λυθεί ως προς x
(Γνωρίζω ότι λογαριθμιζοντας θα βγει αλλά κάτι στις πραξεις με προβληματίζει
β) A=sinx+cosx

Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης
(Μέσω του τριγωνομετρικου κύκλου πιστεύω ότι είναι η μέγιστη το √2/2 η ελάχιστη -√2/2 αλλά δεν ξερω πως να το αποδείξω αλγεβρικά.Σκεφτηκα να το βρω μέσω εσωτερικού γινομένου θεωρώντας 2 διανύσματα
Το v με συντεταγμένες (sinx,cosx) κ το u με συντεταγμένες (1,1) αλλά δεν ξέρω αν θα καταλήξει κάπου

Ευχαριστώ

Christos.N · #2

Καλώς ήρθες , προσπάθησε και γράψε όλα τα παραπάνω σε Latex (σύμφωνα με τους κανονισμούς) ως πρώτο βήμα.

Aleksandros1 · #3

Latex?

Christos.N · #4

Αντιγράφω απο την αρχική σελίδα του

τις οδηγίες:

Για τα μέλη που δεν γνωρίζουν την $\rm\LaTeX$ :

Οι μαθηματικοί τύποι στο mathematica.gr γράφονται με την $\rm\LaTeX$ .

Κάποιες βασικές οδηγίες υπάρχουν στο Εισαγωγικές Οδηγίες για Εισαγωγή Μαθηματικού Κειμένου και περισσότερες στον ειδικό φάκελο Οδηγίες για γραφή με TeX

.

Ένας εναλλακτικός & εύκολος τρόπος για να έχουμε τον κώδικα \rm\LaTeX που θέλουμε είναι με την χρήση του EqEditor. Ο EqEditor εμφανίζεται, σε ξεχωριστό παράθυρο (pop-up), όταν πατάμε το κουμπί EqEditor που βρίσκεται στην μπάρα του παραθύρου δημοσίευσης.

$\color{grey}{\bullet}$ Χρησιμοποιώντας τα κατάλληλα κουμπιά του EqEditor στο ορθογώνιο πλαίσιό του εμφανίζεται ο κώδικας $\rm\LaTeX$ ενώ από κάτω εμφανίζεται ο μαθηματικός τύπος που αντιστοιχεί στον κώδικα.

$\color{grey}{\bullet}$ Όταν γράψουμε τον μαθηματικό τύπο που θέλουμε, αντιγράφουμε τον κώδικα από το ορθογώνιο πλαίσιο και το επικολλούμε στο παράθυρο της δημοσίευσή μας βάζοντάς τον ανάμεσα σε δυο δολλάρια (ή τον επικολλούμε, τον "επιλέγουμε" με το ποντίκι και πατάμε το κουμπί tex).

$\color{grey}{\bullet}$ Ελέγχουμε πάντοτε με την "προεπισκόπηση" αν οι μαθηματικοί τύποι εμφανίζονται σωστά.

Δυο εισαγωγικά βίντεο για την χρήση του EqEditor μπορείτε να δείτε στο youtube-κανάλι του mathematica.gr:
EqEditor tutorial (εισαγωγή) και EqEditor tutorial 2 (παραδείγματα).

Aleksandros1 · #5

Πρέπει όλο ή μόνο τις ασκήσεις?

Christos.N · #6

Όχι μια χαρά, μπράβο σου.

Στο β) έχεις πολύ καλή ιδέα προχώρησε το και θα ανταμειφθεί ο κόπος σου.

Στο α) έχεις έναν κρυμμένο παρανομαστή προσπάθησε να τον κάνεις απαλοιφή, σε τι καταλήγεις;

Συμβουλή: Αν θέλουμε να γράψουμε κάτι σε εκθέτη γράφουμε e^{την παράσταση που θέλουμε} και στην συνέχεια τα βάζουμε μέσα σε δολάρια . Το αποτέλεσμα θα είναι κάπως έτσι $e^{-x}$

Aleksandros1 · #7

Το β καταφερα και το εβγαλα με τον τροπο τον οποιο σκεφτηκα ωστωσο με το α ακομα παιδευομαι λιγο
$e^x - e^{-x}=y$
$\ln (e^x-e^{-x})=lny$
$ln(e^{2x}-1/e^x)=lny$
$ln(e^{2x}-1)-lne^x=lny$
το εγραψα ετσι λογο οτι η λογαρθμικη ειναι 1-1

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Aleksandros1 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 4:48 pm
Το β καταφερα και το εβγαλα με τον τροπο τον οποιο σκεφτηκα ωστωσο με το α ακομα παιδευομαι λιγο
$e^x - e^{-x}=y$
$\ln (e^x-e^{-x})=lny$
$ln(e^{2x}-1/e^x)=lny$
$ln(e^{2x}-1)-lne^x=lny$
το εγραψα ετσι λογο οτι η λογαρθμικη ειναι 1-1

Από την $e^x - e^{-x}=y$ βρες πόσο κάνει το $e^{x}$

Λάμπρος Κατσάπας · #9

Aleksandros1 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 1:13 pm
β)
Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης
(Μέσω του τριγωνομετρικου κύκλου πιστεύω ότι είναι η μέγιστη το √2/2 η ελάχιστη -√2/2 αλλά δεν ξερω πως να το αποδείξω αλγεβρικά.Σκεφτηκα να το βρω μέσω εσωτερικού γινομένου θεωρώντας 2 διανύσματα
Το v με συντεταγμένες (sinx,cosx) κ το u με συντεταγμένες (1,1) αλλά δεν ξέρω αν θα καταλήξει κάπου

Σωστή η προσέγγισή σου. Η απάντηση είναι λάθος όμως (είσαι κοντά). Σκέψου πότε το εσωτερικό γινόμενο παίρνει

μέγιστη-ελάχιστη τιμή (υπάρχει σαν εφαρμογή στο σχολικό). Τι θα είναι τα διανύσματα τότε και που βρίσκεται το

διάνυσμα (1,1).

Εναλλακτικά, αν έχεις μεράκι, ρίξε και μια ματιά στην παράγραφο 3.9 του σχολικού

της άλγεβρας (είναι εκτός ύλης).

KARKAR · #10

Εντυπωσιαστείτε , λύνοντας την εξίσωση : $e^x-e^{-x}=1$ .

Δεν είναι και εφάμιλλη εκείνης του Euler , αλλά κάτι "λέει" ...

#11

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 7:51 pm
Εντυπωσιαστείτε , λύνοντας την εξίσωση : $e^x-e^{-x}=1$ .

Δεν είναι και εφάμιλλη εκείνης του Euler , αλλά κάτι "λέει" ...

Ω ναι. Χρυσάφι η παρατήρησή σου.

Για να την γράψω πιο κρυπτικά ώστε να μην χαλάσω την λύση που προσπαθεί να βρει ο μαθητής, είναι $\phi = arc \sinh \frac {1}{2}$ .

Tolaso J Kos · #12

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 7:51 pm
Εντυπωσιαστείτε , λύνοντας την εξίσωση : $e^x-e^{-x}=1$ .

Δεν είναι και εφάμιλλη εκείνης του Euler , αλλά κάτι "λέει" ...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#13

Τόλη, μόλις αφαίρεσες την χαρά από τον μαθητή να λύσει μόνος του την άσκηση.

Aleksandros1 · #14

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 6:41 pm

Aleksandros1 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 1:13 pm
β)
Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης
(Μέσω του τριγωνομετρικου κύκλου πιστεύω ότι είναι η μέγιστη το √2/2 η ελάχιστη -√2/2 αλλά δεν ξερω πως να το αποδείξω αλγεβρικά.Σκεφτηκα να το βρω μέσω εσωτερικού γινομένου θεωρώντας 2 διανύσματα
Το v με συντεταγμένες (sinx,cosx) κ το u με συντεταγμένες (1,1) αλλά δεν ξέρω αν θα καταλήξει κάπου
Σωστή η προσέγγισή σου. Η απάντηση είναι λάθος όμως (είσαι κοντά). Σκέψου πότε το εσωτερικό γινόμενο παίρνει

μέγιστη-ελάχιστη τιμή (υπάρχει σαν εφαρμογή στο σχολικό). Τι θα είναι τα διανύσματα τότε και που βρίσκεται το

διάνυσμα Εναλλακτικά, αν έχεις μεράκι, ρίξε και μια ματιά στην παράγραφο 3.9 του σχολικού

της άλγεβρας (είναι εκτός ύλης).

φυσικα και θα κοιταξω διοτι τα μαθηματικα ειναι κατι που αγαπαω και θελω να ασχοληθω
Σας ευχαριστω για τις παρατηρησεις αν ειναι σωστες οι πραξει αυτη τη φορα εβγαλα το √2 ως μεγιστη τιμη και το -√2 ως την ελαχιστη αλλα θα μπορουσε κανεις να μου παρουσιασει μια αλγεβρικη προσσεγιση ?

Christos.N · #15

Aleksandros1 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 8:08 pm
....αλλα θα μπορουσε κανεις να μου παρουσιασει μια αλγεβρικη προσσεγιση ?

Θες να δοκιμάσεις να υψώσεις και τα δύο μέλη στο τετράγωνο; Αν συναντήσεις κάποιες τριγωνομετρικές ταυτότητες ακολούθησε το ένστικτό σου...

Aleksandros1 · #16

Ποια δύο μέλη?

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #17

Εχεις την $e^{x}-e^{-x}=y$
θέσε $t=e^{x}$
θα προκύψει ........
εχει δύο ρίζες ως προς

που η μία απορρίπτεται.

Aleksandros1 · #18

Christos.N έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 9:43 pm

Aleksandros1 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 8:08 pm
....αλλα θα μπορουσε κανεις να μου παρουσιασει μια αλγεβρικη προσσεγιση ?
Θες να δοκιμάσεις να υψώσεις και τα δύο μέλη στο τετράγωνο; Αν συναντήσεις κάποιες τριγωνομετρικές ταυτότητες ακολούθησε το ένστικτό σου...

το α και το β κατάφερα να τα λύσω απλός όταν ζήτησα αν γινόταν να παρουσιαστεί μια αλγεβρική προσεγγίσει του β.Αμεσα ο κύριος Χρήστος μου πρότεινε τρόπο να το διαχειριστώ αλλά ποια δύο μέλη να τετραγωνισω? Εννοείται να το διμιουργησω εν τέλη αυτήν την παράσταση?

Christos.N · #19

Aleksandros1 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 10:28 pm
το α και το β κατάφερα να τα λύσω απλός όταν ζήτησα αν γινόταν να παρουσιαστεί μια αλγεβρική προσεγγίσει του β.Αμεσα ο κύριος Χρήστος μου πρότεινε τρόπο να το διαχειριστώ αλλά ποια δύο μέλη να τετραγωνισω? Εννοείται να το διμιουργησω εν τέλη αυτήν την παράσταση?

Αλέξανδρε μπράβο σου που παιδεύεσαι.

1ος τρόπος:
$\displaystyle A = \sin x + \cos x \Rightarrow {A^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} \Leftrightarrow ......$

Έχει όμως ένα λεπτό σημείο που πρέπει να δείξεις (ποιες γωνίες μας κάνουν;) που ισχύει το ίσον σε κάθε περίπτωση;

2ος τρόπος (ανεξάρτητος):

Για δες αυτήν την ταυτότητα $\displaystyle \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = ........$ αν κάνουμε μια μικρή κίνηση φανερώνεται η παράσταση

;
Ε θυμήσου τότε ότι $\displaystyle \left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| \leqslant 1$ .
Να συνδυάσουμε όλα τα παραπάνω;

Aleksandros1 · #20

Christos.N έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 12:56 am

Aleksandros1 έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 25, 2018 10:28 pm
το α και το β κατάφερα να τα λύσω απλός όταν ζήτησα αν γινόταν να παρουσιαστεί μια αλγεβρική προσεγγίσει του β.Αμεσα ο κύριος Χρήστος μου πρότεινε τρόπο να το διαχειριστώ αλλά ποια δύο μέλη να τετραγωνισω? Εννοείται να το διμιουργησω εν τέλη αυτήν την παράσταση?
Αλέξανδρε μπράβο σου που παιδεύεσαι.

1ος τρόπος:
$\displaystyle A = \sin x + \cos x \Rightarrow {A^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} \Leftrightarrow ......$

Έχει όμως ένα λεπτό σημείο που πρέπει να δείξεις (ποιες γωνίες μας κάνουν;) που ισχύει το ίσον σε κάθε περίπτωση;

2ος τρόπος (ανεξάρτητος):

Για δες αυτήν την ταυτότητα $\displaystyle \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = ........$ αν κάνουμε μια μικρή κίνηση φανερώνεται η παράσταση ;
Ε θυμήσου τότε ότι $\displaystyle \left| {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right| \leqslant 1$ .
Να συνδυάσουμε όλα τα παραπάνω;

Κατάφερα να το αποδείξω και με
Τον α τρόπο που μου παραθέσατε το βράδυ θα ανεβάσω την λύση μου καθώς θα ασχοληθώ και με τον β τρόπο

Άλγεβρα β λυκειου

Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Re: Άλγεβρα β λυκειου

Μέλη σε σύνδεση