Ανισότητα

Κω.Κωνσταντινίδης · #1

Αν οι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του 7, με x+y+z=20 να αποδείξετε ότι

$\frac{40}{3}> \frac{x+y}{x+3}+\frac{x+z}{z+3}+\frac{y+z}{y+3}> 4$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: Πέμ Απρ 26, 2018 9:07 pm Αν οι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του 7, με x+y+z=20 να αποδείξετε ότι

$\frac{40}{3}> \frac{x+y}{x+3}+\frac{x+z}{z+3}+\frac{y+z}{y+3}> 4$

Ας κάνω την αριστερή που βελτιώνεται το φράγμα και την λες και για Γυμνάσιο.

Αφού x+y+z=20

και

προκύπτει ότι x,y,z>6

Ετσι είναι $\frac{x+y}{x+3}< \frac{14}{9}$

και κυκλικά για τις άλλες.

Ετσι $\frac{x+y}{x+3}+\frac{x+z}{z+3}+\frac{y+z}{y+3}< 3\frac{14}{9}=\frac{14}{3}$

#3

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: Πέμ Απρ 26, 2018 9:07 pm Αν οι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του 7, με x+y+z=20 να αποδείξετε ότι

$\frac{40}{3}> \frac{x+y}{x+3}+\frac{x+z}{z+3}+\frac{y+z}{y+3}> 4$

Την σκότωσε ο Σταύρος.

Ας προσθέσω ότι η αριστερή ανισότητα όπως δόθηκε αρχικά είναι πάρα πολλή απλή ακόμη και χωρίς την υπόθεση x,y,z<7

διότι

$\displaystyle \frac{x+y}{x+3}+\frac{x+z}{z+3}+\frac{y+z}{y+3} < \frac{x+y}{3}+\frac{x+z}{3}+\frac{y+z}{3} = \frac{2(x+y+z)}{3}= \frac{40}{3}$

#4

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: Πέμ Απρ 26, 2018 9:07 pm Αν οι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του 7, με x+y+z=20 να αποδείξετε ότι

$\frac{40}{3}> \frac{x+y}{x+3}+\frac{x+z}{z+3}+\frac{y+z}{y+3}> 4$

Συνεχίζοντας το προηγούμενο ποστ ας κάνω και την δεξιά ανισότητα, με χρήση της υπόθεσης ότι οι οι αριθμοί x,y,z

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί μικρότεροι του

. Πάλι ο συλλογισμός είναι πολύ απλός:

$\displaystyle { \frac{x+y}{x+3}+\frac{x+z}{z+3}+\frac{y+z}{y+3}> \frac{x+y}{7+3}+\frac{x+z}{7+3}+\frac{y+z}{7+3} = \frac{2(x+y+z)}{10}=4$

Σχολιάζω ότι παρ' όλη την απλότητά της, είναι ωραία ασκησούλα για τις μικρές τάξεις του Γυμνασίου.

Κω.Κωνσταντινίδης · #5

Αυτή η άσκηση είναι παρόμοια με μια που τέθηκε στον Αρχιμήδη νέων. Για αυτό άλλωστε γράφω ως λέξεις κλειδιά την φράση επεξεργασία δεδομένων.

Μια απλή αλλά χρονοβόρα λύση είναι η ακόλουθη:

Γράφουμε με μαθηματικό τρόπο τα δεδομένα, άρα

0< x< 7

Προσθέτουμε στο κάθε μέλος των ανισοτήτων το 3, συνεπώς
3< x+3< 10

Θα μετατρέψουμε τους όρους των ανισοτήτων σε παρονομαστές. Ο αριθμητής των κλασμάτων που θα προκύψουν θα είναι 1. Όμως η φορά της ανισότητας θα αλλάξει διότι ανάμεσα σε τρία κλάσματα που έχει το καθένα αριθμητή το 1, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχειι τον μικρότερο παρονομαστή.Άρα:

(1) $\frac{1}{3}> \frac{1}{x+3}> \frac{1}{10}$
(2) $\frac{1}{3}> \frac{1}{y+3}> \frac{1}{10}$
(3) $\frac{1}{3}> \frac{1}{z+3}> \frac{1}{10}$

Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη της ανισότητας (1) με x+y, τα μέλη της ανισότητας (2) με y+z και τα μέλη της ανισότητας (3) με x+z, άρα προκύπτει ότι

$\frac{x+y}{3}> \frac{x+y}{x+3}> \frac{x+y}{10}$
$\frac{x+z}{3}> \frac{x+z}{z+3}> \frac{x+z}{10}$
$\frac{y+z}{3}> \frac{y+z}{y+3}> \frac{y+z}{10}$
Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι:
$\frac{x+y+x+z+y+z}{3}>\frac{x+y}{x+3}+\frac{x+z}{z+3}+\frac{y+z}{y+3}> \frac{x+y+x+z+y+z}{10}$
Αντικαθιστώντας με 20 όπου x+y+z και κάνοντας αναγωγή όμοιων όρων προκύπτει η ζητούμενη.

Καλό βράδυ
Κωνσταντίνος

#6

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: Παρ Απρ 27, 2018 7:29 pm Μια απλή αλλά χρονοβόρα λύση είναι η ακόλουθη:

Κωνσταντίνε,

στην πραγματικότητα η λύση που γράφεις είναι ΑΚΡΙΒΩΣ η ίδια με την δικιά μου (και στο ένα σκέλος και στο άλλο) με μόνη διαφορά ότι γράφεις από τρεις φορές την κάθε ανισότητα. Απλά έγραψες με πολλά λόγια τα εύκολα.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση