Γεωμετρικός τόπος κορυφής

#1

: Γεωμετρικός τόπος κορυφής.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 1277 φορές

Η βάση

τριγώνου

είναι σταθερή κατά θέση και μέγεθος, ενώ η κορυφή του

μεταβάλλεται. Αν H, G

είναι αντίστοιχα το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο του τριγώνου και το μέσο

του

είναι σημείο της ευθείας BC,

να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής

S.E.Louridas · #2

Καταρχάς θα δώσω το σχήμα της ημέτερης διαπραγμάτευσης και το αποτέλεσμα των υπολογισμών μου, για να ασχοληθούν και άλλοι λύτες στο όμορφο αυτό πρόβλημα.

Με βάση λοιπόν τα δεδομένα και το θεώρημα του Euler, το OKTZ

είναι ορθογώνιο. Μετά λοιπόν από κάποιες πράξεις παίρνουμε $\displaystyle{\eta^2} - d^2} = \frac{6}{7}\ \alpha ^2},}$ οπότε ο γεωμετρικός τόπος του

θα είναι υπερβολή, οπότε λόγω ομοιοθεσίας παίρνουμε και την υπερβολή που κινείται η κορυφή

: G.B..png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 1219 φορές

#3

Σωτήρη και Γιώργο Καλημέρα!

Αναρτώ ένα σχήμα στατικό κι ένα δυναμικό.

: Γεωμετρικός τόπος κορυφής 1.png (31.51 KiB) Προβλήθηκε 1166 φορές

Στο σχήμα θεώρησα, χωρίς βλάβη της γενικότητας το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$

με:

$\displaystyle{A(m,n),B(0,0), C(c,0)}$ όπου $\displaystyle{m<0,n>0, c>0}$

και στη συνέχεια υπολόγισα (παραλείποντας τις πράξεις) τα στοιχεία

των σημείων:

Ορθόκεντρο( $\displaystyle{H}$ ), Βαρύκεντρο( $\displaystyle{G}$ ) και Μέσο ( $\displaystyle{N}$ ) του τμήματος αυτών.

Στη συνέχεια βάζοντας την τεταγμένη του σημείου $\displaystyle{N}$ ίση με μηδέν

βρίσκουμε την εξίσωση:

$\displaystyle{n^2=3m^2-3mc \ \ (1)}$

Η (1) εκφράζει το κόκκινο τόξο της υπερβολής του ανωτέρω σχήματος,με εξίσωση:

$\displaystyle{y^2=3x^2-3cx}$ .

Αναρτώ και το δυναμικό σχήμα για όσους αρέσκονται να απολαμβάνουν
τις γεωμετρικές νομοτέλειες να εμφανίζονται μέσα από την πολυπλοκότητα
των κινήσεων και των σχέσεων.

Μέσο τμήματος ΗG τριγώνου1.ggb: (22.08 KiB) Μεταφορτώθηκε 81 φορές

Κώστας Δόρτσιος

mixtzo · #4

Τυχαία έπεσα στον υπέροχο αυτό γεωμετρικό τόπο. Ίσως έχει ενδιαφέρον και το αντίστροφο αυτού, που το παραθέτω, επισυνάπτοντας την απόδειξη.

Θεωρούμε την υπερβολή με κέντρο Κ, κορυφές Α και Α′ και εστίες Ε και Ε′, οι οποίες είναι τα συμμετρικά του κέντρου Κ ως προς τις κορυφές της Α και Α′ αντίστοιχα. Αν Σ τυχαίο σημείο αυτής, τότε για το τρίγωνο ΣΑΑ′ ισχύει: Το τμήμα ΘΗ, όπου Θ και Η είναι το βαρύκεντρο και το ορθόκεντρο του τριγώνου ΣΑΑ′, διχοτομείται από τον άξονα αυτής.

Μιχάλης Τζούμας
Σχ. Συμβ. Μαθηματικών

Γεωμετρικός τόπος κορυφής

Γεωμετρικός τόπος κορυφής

Re: Γεωμετρικός τόπος κορυφής

Re: Γεωμετρικός τόπος κορυφής

Re: Γεωμετρικός τόπος κορυφής

Μέλη σε σύνδεση