Ελάχιστη απόσταση γραφικών

pito · #1

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lnx,x>0

. Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

που είναι παράλληλη στην ευθεία y=x

καθώς και η ελάχιστη απόσταση των σημείων των γραφικών παραστάσεων των f,g

, όπου $g(x)=e^{x}$ .

Από τον εξαίρετο "Οδηγό επανάληψης" των κ.Στεργίου, Νάκη.

KARKAR · #2

: Γέφυρα.png (14.28 KiB) Προβλήθηκε 2353 φορές

Η

είναι κοίλη , ενώ η

κυρτή . Παρατηρώ ότι οι εφαπτόμενες των $C_{f} ,C_{g}$ στα σημεία

A(1,0) , B(0,1)

αντίστοιχα είναι παράλληλες και απέχουν κατά $\sqrt{2}$ αφού το

είναι κάθετο στις παράλληλες . Για οποιαδήποτε άλλα σημεία A',B'

των δύο καμπυλών

είναι A'B'>AB

, συνεπώς η ελάχιστη απόσταση είναι $\sqrt{2}$ , σ'αυτή τη θέση .

pito · #3

Ευχαριστώ κ.Θανάση!

Ένα επιπλέον ερώτημα( με υποερωτήματα) , πάλι από τον οδηγό:

Δίνεται η συνάρτηση $h(x)=g(x)+x, x\epsilon R$ .
α) Να δείξετε ότι η

αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $h^{-1}$
β) Να λυθεί η εξίσωση $h^{-1}(x)=x-1$
γ)Να βρεθούν, αν υπάρχουν , τα κοινά σημεία των $C_{h},C_{h^{-1}}$
δ) Να λυθούν οι ανισώσεις $h^{-1}(x)\leq x-1, h^{-1}(x)\geq x-1$

#4

Επαναφορά για τα τελευταία ερωτήματα!

#5

pito έγραψε: Σάβ Απρ 14, 2018 5:32 pm Ευχαριστώ κ.Θανάση!

Ένα επιπλέον ερώτημα( με υποερωτήματα) , πάλι από τον οδηγό:

Δίνεται η συνάρτηση $h(x)=g(x)+x, x\epsilon R$ .
α) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρεθεί το πεδίο ορισμού της $h^{-1}$
β) Να λυθεί η εξίσωση $h^{-1}(x)=x-1$
γ)Να βρεθούν, αν υπάρχουν , τα κοινά σημεία των $C_{h},C_{h^{-1}}$
δ) Να λυθούν οι ανισώσεις $h^{-1}(x)\leq x-1, h^{-1}(x)\geq x-1$

α) Έστω $\displaystyle h(x)=\ln x+x$ , $\displaystyle x\in (0,+\infty )$ . Τότε η $\displaystyle h$ είναι γνησίως αύξουσα , άρα αντιστρέφεται .
Το σύνολο τιμών της $\displaystyle h$ είναι το $\displaystyle R$ . Επομένως ορίζεται η $\displaystyle {{h}^{-1}}:R\to (0,+\infty )$ .
β) Το πεδίο ορισμού της εξίσωσης $\displaystyle {{h}^{-1}}(x)=x-1$ είναι όλο το $\displaystyle R$ .
Αν $\displaystyle x\le 1$ τότε είναι $\displaystyle {{h}^{-1}}(x)>0,x-1\le 0$ άρα δεν έχει ρίζες .
Αν $\displaystyle x>1$ τότε $\displaystyle {{h}^{-1}}(x)=x-1\Leftrightarrow h({{h}^{-1}}(x))=h(x-1)\Leftrightarrow x=\ln (x-1)+x-1\Leftrightarrow \ln (x-1)=1\Leftrightarrow x=e+1$
γ) Για $\displaystyle x\in (0,+\infty )$ είναι $\displaystyle \left\{ \begin{align} \[\left\{ \begin{array}{l} y = h(x)\\ y = {h^{ - 1}}(x) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = h(x)\\ h(y) = x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \ln x + x\\ x = \ln y + y \end{array} \right.$

Αφαιρώντας παίρνουμε την $\displaystyle y-x=\ln x-\ln y+x-y\Leftrightarrow 2y+\ln y=2x+\ln x\Leftrightarrow t(y)=t(x)\Leftrightarrow y=x$
διότι η $\displaystyle t(x)=2x+\ln x$ είναι $\displaystyle 1-1$
Άρα $\displaystyle x=\ln x+x\Leftrightarrow \ln x=0\Leftrightarrow x=1$ . Άρα έχουν κοινό το $\displaystyle A(1,1)$
δ) Για $\displaystyle x<1$ η ανίσωση $\displaystyle {{h}^{-1}}(x)\le x-1$ είναι αδύνατη αφού $\displaystyle {{h}^{-1}}(x)>0$ και $\displaystyle x-1\le 0$
Για $\displaystyle x\ge 1$ και επειδή η $\displaystyle h$ είναι γνησίως αύξουσα γίνεται
$\displaystyle h({{h}^{-1}}(x))\le h(x-1)\Leftrightarrow x\le \ln (x-1)+x-1\Leftrightarrow \ln (x-1)\ge 1\Leftrightarrow x\ge e+1$
Άρα αληθεύει για $\displaystyle x\ge e+1$
Ομοίως :
Για $\displaystyle x\le 1$ η ανίσωση $\displaystyle {{h}^{-1}}(x)\ge x-1$ ισχύει , αφού $\displaystyle {{h}^{-1}}(x)>0$ και $\displaystyle x-1\le 0$
Για $\displaystyle x>1$ και επειδή η $\displaystyle h$ είναι γνησίως αύξουσα γίνεται
$\displaystyle h({{h}^{-1}}(x))\ge h(x-1)\Leftrightarrow x\ge \ln (x-1)+x-1\Leftrightarrow \ln (x-1)\le 1\Leftrightarrow x\le e+1$
Άρα αληθεύει για $\displaystyle 1<x\le e+1$ και τελικά για $\displaystyle x\le e+1$

Ελάχιστη απόσταση γραφικών

Ελάχιστη απόσταση γραφικών

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών

Re: Ελάχιστη απόσταση γραφικών

Μέλη σε σύνδεση