Συνευθειακά;!

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #1

Έστω τρίγωνο ABC

και έστω

τα μέσα των

και

. Φέρνουμε τον κύκλο που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο στο

και διέρχεται από τα M, N

(Το

βρίσκεται σε διαφορετικό ημιεπίπεδο από το

ως προς την

). Η

ξανατέμνει το μικρό κύκλο στο

. Οι εφαπτόμενες των

και

τέμνονται στο

. Να αποδειχθεί πως τα σημεία F, E, N

είναι συνευθειακά!

Έφτασα σε αυτό στο πλαίσιο λύσης μιας άλλης άσκησης. Το έχω λύσει με έναν περίεργο τρόπο. Αν θέλετε ανεβάζω και το αρχικό πρόβλημα.

: συνευθειακά.png (28.99 KiB) Προβλήθηκε 2230 φορές

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Επαναφορά!

gavrilos · #3

Καλησπέρα.

$\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm] \clip(-3.,-4.) rectangle (8.,6.2); \fill[line width=0.8pt,color=grey,fill=grey,fill opacity=0.20000000298023224] (2.227044847720962,5.422686871738195) -- (0.,0.) -- (7.3168158703100845,0.) -- cycle; \draw [line width=0.8pt,color=black] (2.227044847720962,5.422686871738195)-- (0.,0.); \draw [line width=0.8pt,color=black] (0.,0.)-- (7.3168158703100845,0.); \draw [line width=0.8pt,color=black] (7.3168158703100845,0.)-- (2.227044847720962,5.422686871738195); \draw [line width=0.8pt] (3.658407935155042,1.666183665441198) circle (3.215971803556835cm); \draw [line width=0.8pt] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185)-- (0.,0.); \draw [line width=0.8pt] (2.9427263914380024,0.6365290581031555) circle (2.2128124160440703cm); \draw [line width=0.8pt] (1.113522423860481,2.7113434358690975)-- (1.3640450516788172,-1.6347276611344042); \draw [line width=0.8pt] (1.3640450516788172,-1.6347276611344042)-- (4.771930359015523,2.7113434358690975); \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (1.3640450516788172,-1.6347276611344042); \draw [line width=0.8pt] (1.3640450516788172,-1.6347276611344042)-- (2.227044847720962,5.422686871738195); \draw [line width=0.8pt] (1.113522423860481,2.7113434358690975)-- (4.771930359015523,2.7113434358690975); \draw [line width=0.8pt] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185)-- (1.113522423860481,2.7113434358690975); \draw [line width=0.8pt] (7.3168158703100845,0.)-- (1.3640450516788172,-1.6347276611344042); \draw [line width=0.8pt] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185)-- (2.227044847720962,5.422686871738195); \draw [line width=0.8pt] (1.3640450516788172,-1.6347276611344042)-- (5.129124186504486,2.3307859863504756); \draw [line width=0.8pt,domain=-3.:8.] plot(\x,{(--2.2664767145437095--2.2943628834762246*\x)/-3.3009113265756023}); \draw (-1.5583124957121544,1.2) node[anchor=north west] {x '}; \draw (4.273183952279403,-2.8) node[anchor=north west] {x}; \draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185)-- (4.771930359015523,2.7113434358690975); \draw [line width=0.8pt] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185)-- (1.3640450516788172,-1.6347276611344042); \begin{scriptsize} \draw [fill=black] (2.227044847720962,5.422686871738195) circle (1.5pt); \draw (2.022430937265118,5.870279800860354) node {A}; \draw [fill=black] (0.,0.) circle (1.5pt); \draw (-0.4585127270119922,0.11551356928974121) node {B}; \draw [fill=black] (7.3168158703100845,0.) circle (1.5pt); \draw (7.62373673599385,0.14109030809672174) node {C}; \draw [fill=black] (1.113522423860481,2.7113434358690975) circle (1.5pt); \draw (1,3.14) node {M}; \draw [fill=black] (4.771930359015523,2.7113434358690975) circle (1.5pt); \draw (4.887025683646935,3.2614524425483427) node {N}; \draw [fill=black] (-1.7751667508013897,3.8977000327485185) circle (1.5pt); \draw (-2.248884443500628,4.182215039599641) node {F}; \draw [fill=black] (1.3640450516788172,-1.6347276611344042) circle (1.5pt); \draw (0.8970544297579752,-1.7515883636198355) node {D}; \draw [fill=black] (5.129124186504486,2.3307859863504756) circle (1.5pt); \draw (5.577597631435409,2.545303755952889) node {H}; \draw [fill=black] (1.9578489717298249,3.221264697454805) circle (1.5pt); \draw (2.227044847720962,3.6962570022670116) node {E}; \draw [fill=black] (0.18326446775965563,0.4462352091352625) circle (1.5pt); \draw (0.538980086460248,0.6014716066223708) node {G}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture}$

Έστω G,H

τα σημεία τομής του μικρού κύκλου με τις AB,AC

αντίστοιχα,και x'x

η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων.Από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης, $\hat{BAD}=\hat{BDx'}$ και $\hat{GMD}=\hat{GDx'}$ .Συμπεραίνουμε ότι $\hat{BDG}=\hat{GMD}-\hat{BAD}=\hat{ADM}$ ,οπότε η

είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\triangle{ABD}$ ,και άρα διέρχεται από το

.Ομοίως,η

είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου $\triangle{ACD}$ .Με χρήση των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων και των παραπάνω αποτελεσμάτων,προκύπτει ότι $\hat{DNE}=\hat{DNM}+\hat{MDE}=\hat{BGD}+\hat{BDG}=180^{\circ}-\hat{ABD}$ .Θα αποδείξουμε ότι το τετράπλευρο AFDN

είναι εγγράψιμο.Στη συνέχεια θα γράψουμε $\hat{DNE}=180^{\circ}-\hat{ABD}=\hat{ACD}=\hat{FAD}=\hat{FND}$ (χρησιμοποιήθηκε και το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης),από όπου θα προκύψει το ζητούμενο.

Όμως,το AFDN

είναι εγγράψιμο επειδή $\hat{FDN}=\hat{GDN}=\hat{AMN}=\hat{B}=180^{\circ}-(\hat{A}+\hat{C})=180^{\circ}-\hat{FAN}$ ,και το ζητούμενο έπεται.

Henri van Aubel · #4

Βάζω μία λύση. Μην βαράτε. (

)
Φέρνουμε την κοινή εφαπτομένη των κύκλων $\left ( ABC \right )$ και $\left ( MND \right )$ και πρέπει $\angle BDM=\angle MND-\left ( \angle A-\angle DAC \right )=\angle CDN.$

Ονομάζουμε $\angle DAC=y$ και $\angle BDM=\angle CDN=\theta .$

Έχουμε $\displaystyle \frac{BD}{DM}=\frac{\sin \left ( B+y+\theta \right )}{\sin \theta }=\sin \left ( B+y \right )\cot \theta +\cos \left ( B+y \right )=\frac{2\sin \left ( A-y \right )}{\sin \left ( A+B \right )}\Longleftrightarrow$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \boxed{\cot \theta =\frac{2\sin \left ( A-y \right )-\sin \left ( A+B \right )\cos \left ( B+y \right )}{\sin \left ( A+B \right )\sin \left ( B+y \right )}}(1)$

Με παρόμοιο τρόπο $\displaystyle \frac{DC}{NC}=\frac{\sin \left ( B+y-\theta \right )}{\sin \theta }=\sin \left ( B+y \right )\cot \theta -\cos \left ( B+y \right )=\frac{2\sin y}{\sin B}\Longleftrightarrow$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \boxed{\cot \theta=\frac{2\sin y+\sin B\cos \left ( B+y \right )}{\sin B\sin \left ( B+y \right )} }\left ( 2 \right )$

Από $\left ( 1 \right )$ και $\left ( 2 \right )$ προκύπτει ότι $\displaystyle \frac{\sin \left ( A-y \right )}{\sin \left (A+B \right )}-\frac{\sin y}{\sin B}=\cos \left ( B+y \right )\Longleftrightarrow$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \boxed{\cot y=\frac{\sin B\cos A+\cos ^{2}B\sin \left ( A+B \right )}{\sin B\sin A-\sin B\cos B\sin \left ( A+B \right )}}\left ( 3 \right )$

Οπότε προκύπτει ότι $\displaystyle \frac{AD}{DC}=\frac{\sin \left ( B+y \right )}{\sin y}=\sin B\cot y+\cos B\left ( 4 \right )$ και σε συνδυασμό

με την $\left ( 3 \right )$ , $\displaystyle \frac{AD}{DC}=\frac{\sin B\cos A+\cos ^{2}B\sin \left ( A+B \right )+\cos B\sin A-\cos ^{2}B\sin \left ( A+B \right )}{\sin A-\cos B\sin \left ( A+B \right )}.$

Επομένως είναι $\displaystyle \boxed{\frac{AD}{DC}=\frac{\sin \left ( A+B \right )}{\sin A-\cos B\sin \left ( A+B \right )}}\left ( 5 \right )$

Όμως είναι $\displaystyle \boxed{\frac{AF}{CN}=\frac{AF}{AB}\cdot \frac{AB}{CN}=\frac{1}{2\cos C}\cdot \frac{\sin C}{\sin B}=\frac{\sin \left ( A+B \right )}{\sin A-\cos B\sin \left ( A+B \right )}}\left ( 6 \right )$

Οπότε $\displaystyle \frac{AD}{DC}=\frac{AF}{CN}$ και $\angle DAF=\angle DCN$ (χορδής -εφαπτομένης) . Συνεπώς, τα τρίγωνα

FAD

και

είναι όμοια κι έτσι $\angle AFD=\angle DNC$ οπότε AFDN

εγγράψιμο και $\angle AFN=\angle ADN=\angle B-\theta \Longrightarrow \angle ANF=\theta .$ Όμως είναι $\angle ANE=\angle DEN-y=\angle DMN-y=\theta +y-y=\theta$ ,

επομένως τα σημεία N,E,F

είναι συνευθειακά.

Ένα διαφορετικό τελείωμα: Είναι (όπως δείξαμε και πριν) $\angle BDM=\angle CDN.$ Αν

το σημείο τομής των εφαπτομένων στα

,

του κύκλου $\left ( ABC \right )$ τότε $\angle FDA=\angle BDM$ οπότε $\angle FDN=\angle BDM+\angle NDA=\angle CDN+\angle NDA=\angle B.$
Επομένως $\angle FDN+\angle FAN=180^\circ$ , δηλαδή AFDN

εγγράψιμο , οπότε $\angle FNA=\angle FDA=\angle BDM=\angle CDN.$
Αφού όμως $\angle ENA=\angle DMN-\angle DAC=\angle CDN$ , έπεται ότι F,E,N

συνευθειακά ...κλπ.

Συνευθειακά;!

Συνευθειακά;!

Re: Συνευθειακά;!

Re: Συνευθειακά;!

Re: Συνευθειακά;!

Μέλη σε σύνδεση