Σύστημα

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x-5y & = &5 \\ 2x+y& = &54 \end{matrix}\right.}$

Να λυθεί το σύστημα.
Να ερμηνευτεί γεωμετρικά η λύση του συστήματος.
Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathrm{K} = \sqrt{4+\sqrt{x}} +\sqrt{14+\sqrt{y}} -\sqrt{xy}}$

Tolaso J Kos · #2

Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \left\{\begin{matrix} x-5y & = &5 \\ 2x+y & = &54 \end{matrix}\right. &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x &= & 5+5y \\ 2x+y & = & 54 \end{matrix}\right. \\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & 5+5y\\ 2\left ( 5+5y \right ) + y& = & 54 \end{matrix}\right. \\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x &= & 5+5y\\ 10+11y & = & 54 \end{matrix}\right. \\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & 5+5y \\ 11y & = & 44 \end{matrix}\right. \\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x& = & 25 \\ y& = & 4 \end{matrix}\right. \end{aligned}}$
Οι εξισώσεις και παριστάνουν ευθείες στο επίπεδο. Η λύση του συστήματος παριστάνει γεωμετρικά το σημείο τομής τους.
Για και έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathrm{K} &= \sqrt{4+\sqrt{25}} + \sqrt{14+\sqrt{4}} - \sqrt{25\cdot 4} \\ &= \sqrt{4+5} + \sqrt{14+2} - \sqrt{100} \\ &=\sqrt{9} + \sqrt{16} - 10 \\ &= 3+4-10 \\ &=-3 \end{aligned}}$