Σταθερότητα ;

KARKAR · #1

: Σταθερότητα ;.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 1150 φορές

Τα σημεία A',B'

κινούνται στον άξονα x'x

με την μεταξύ τους απόσταση να παραμένει

σταθερή ( εν προκειμένω

). Οι κάθετες στα σημεία αυτά προς τον άξονα x'x

τέμνουν

την παραβολή με εξίσωση y=ax^2

( εν προκειμένω την $\dfrac{x^2}{4}$ ) , στα σημεία A,B

.

Οι εφαπτόμενες της καμπύλης στα σημεία αυτά τέμνονται στο σημείο

.

Εξετάστε αν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη

και τις δύο εφαπτόμενες , παραμένει σταθερό . Γενικεύστε ...

#2

Έστω $\displaystyle f(x)=a{{x}^{2}},a>0$ με $\displaystyle {f}'(x)=2ax$ .
Οι εφαπτόμενες στα $\displaystyle A(b,f(b)),\,\,B(b+k,f(b+k))$ έχουν εξισώσεις :
$\displaystyle y-f(b)={f}'(b)(x-b)\Leftrightarrow y={f}'(b)x+f(b)-b{f}'(b)\Leftrightarrow y=2abx+a{{b}^{2}}-2a{{b}^{2}}\Leftrightarrow y=2abx-a{{b}^{2}}$
και
$\displaystyle \begin{array}{l} y - f(b + k) = f'(b + k)(x - b - k) \Leftrightarrow y = f'(b + k)x + f(b + k) - f'(b + k)(b + k) \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow y = 2a(b + k)x + a{(b + k)^2} - 2a{(b + k)^2} \Leftrightarrow y = 2a(b + k)x - a{(b + k)^2} \end{array}$

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους βρίσκουμε το σημείο τομής
$\displaystyle C\left( \frac{2b+k}{2},a{{b}^{2}}+abk \right)$
Το άθροισμα των εμβαδών των δύο τραπεζίων είναι $\displaystyle {{E}_{1}}+{{E}_{2}}=\frac{3ka{{(2b+k)}^{2}}}{12}$
Το εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση είναι $\displaystyle {{E}_{3}}=\int_{b}^{b+k}{a{{x}^{2}}dx=...=\frac{4ka(3{{b}^{2}}+3bk+{{k}^{2}})}{12}}$
Η διαφορά των δύο είναι $\displaystyle E={{E}_{3}}-({{E}_{1}}+{{E}_{2}})=\frac{4ka(3{{b}^{2}}+3bk+{{k}^{2}})}{12}-\frac{3ka{{(2b+k)}^{2}}}{12}=\frac{{{k}^{3}}a}{12}$ ,
το οποίο είναι ανεξάρτητο του $\displaystyle b$
Στο παράδειγμα είναι $\displaystyle k=2,a=\frac{1}{4}$ , οπότε $\displaystyle E=\frac{1}{6}$

mixtzo · #3

Επειδή η Γεωμετρία των κωνικών είναι γοητευτική, ας τα δούμε με Ευκλείδεια...

Πρόταση: Θεωρούμε την παραβολή εστίας Ε και κορυφής Α. Οι εφαπτόμενες στα άκρα της χορδής ΔΗ τέμνονται στο Σ και ισχύει:

Το Σ ανήκει στη διάμετρο της παραβολής στο Γ (πρόταση XIV, σελ. 50, στο [1])
ΣΓ = ΓΖ (πρόταση XV, σελ. 51 στο [1])
${\Delta\Delta}_1^2=4\cdot AE\cdot \Gamma Z$ (πόρισμα, σελ. 53, στο [1])
Για το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου ΔΓΑΗΔ και το εμβαδόν του τριγώνου ΔΓΗ, ισχύει: Εμβ(ΔΓΑΗΔ)= $\frac{4}{3}$ Εμβ(ΔΓΗ) (στο [2])

: parabola.jpg (26.77 KiB) Προβλήθηκε 1071 φορές

[1] https://archive.org/stream/geometricalconic00smitrich
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/The_Quadr ... e_Parabola

Στο πρόβλημά μας τώρα. Αν Δ' και Η' οι προβολές των Δ και Η στη διευθετούσα, με Δ'H' = 2h σταθερό, από το τρίτο της πρότασης προκύπτει ότι το ΓΖ είναι σταθερό, οπότε σταθερό θα είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΔΓΗ. Έτσι το ζητούμενο εμβαδό θα είναι $\frac{2}{3}(\Delta \Gamma H)$ .
Παράλληλα απαντήσαμε και στο https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=61797 .

Σταθερότητα ;

Σταθερότητα ;

Re: Σταθερότητα ;

Re: Σταθερότητα ;

Μέλη σε σύνδεση