Όμορφη σειρά

Tolaso J Kos · #1

Σε συνέχεια του θέματος εδώ....

Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma \left ( n + \frac{3}{2} \right )}{(2n+1)(2n+3) (n+1)!} = -\frac{\pi \sqrt{\pi}}{4} + \sqrt{\pi} }$

pprime · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Μάιος 18, 2018 9:21 pm Σε συνέχεια του θέματος εδώ....
Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα. Να δειχθεί ότι:
$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma \left ( n + \frac{3}{2} \right )}{(2n+1)(2n+3) (n+1)!} = -\frac{\pi \sqrt{\pi}}{4} + \sqrt{\pi} }$

$\displaystyle{S=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{\Gamma \left( n+\frac{3}{2} \right)}{\left( 2n+1 \right)\left( 2n+3 \right)\left( n+1 \right)!}}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{\Gamma \left( n+\frac{1}{2} \right)}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)n!}}=\Gamma \left( \frac{1}{2} \right)+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{\left( 2n \right)!}{{{4}^{n}}{{\left( n! \right)}^{2}}}\cdot \frac{2n+1-\left( 2n-1 \right)}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}}}$

$\displaystyle{=\sqrt{\pi }+\frac{\sqrt{\pi }}{2}\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{\left( 2n \right)!}{{{4}^{n}}{{\left( n! \right)}^{2}}}\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right)}=\sqrt{\pi }-\frac{\sqrt{\pi }}{2}\arcsin 1=\sqrt{\pi }\left( 1-\frac{\pi }{4} \right)}$

$\displaystyle{\frac{\sqrt{\pi }\left( 4-\pi \right)}{4}=\text{0}\text{.380371851697589065976962987811436257294143358551576150525}...}$

$\displaystyle{\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{\Gamma \left( n+\frac{3}{2} \right)}{\left( 2n+1 \right)\left( 2n+3 \right)\left( n+1 \right)!}}=0.380351138880575071378646194950318...}$

Tolaso J Kos · #3

: f7b89bbc-8733-4dfd-aade-7de9735b2f9b.png (12.81 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

Όμορφη σειρά

Όμορφη σειρά

Re: Όμορφη σειρά

Re: Όμορφη σειρά

Μέλη σε σύνδεση