Pascal...

#1

Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κωνική. Να αποδειχτεί ότι τα δυο σημεία που ορίζουν οι απέναντι πλευρές του και τα δύο σημεία που ορίζουν οι εφαπτόμενες στις απέναντι κορυφές του, σχηματίζουν αρμονική τετράδα.

#2

rek2 έγραψε: Τρί Μάιος 22, 2018 7:31 pm Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κωνική. Να αποδειχτεί ότι τα δυο σημεία που ορίζουν οι απέναντι πλευρές του και τα δύο σημεία που ορίζουν οι εφαπτόμενες στις απέναντι κορυφές του, σχηματίζουν αρμονική τετράδα.

Καλημέρα ΤΕΡΑΣΤΙΕ Ρεκούμη!!

$\bullet$ Έστω εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ τετράπλευρο και ας είναι τα σημεία τομής των εφαπτομένων στα άκρα και των διαγωνίων του αντίστοιχα και $E\equiv AB\cap CD$ και $Z\equiv AD\cap BC$ . Έστω $M\equiv QA\cap PB,N\equiv QA\cap PD,K\equiv PB\cap QC$

Από το Θεώρημα του Pascal στο εκφυλισμένο μη κυρτό εγγεγραμμένο στον $\left( O \right)$ εξάγωνο προκύπτει ότι $Z\equiv AD\cap BC,L\equiv DD\cap CC,S\equiv DB\cap CA$ είναι συνευθειακά. Ομοίως από το ίδιο Θεώρημα για το εκφυλισμένο μη κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάγωνο προκύπτει ότι $M\equiv AA\cap BB,Z\equiv AD\cap BC,S\equiv DB\cap CA$ είναι συνευθειακά.
Οπότε τελικά και με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι είναι συνευθειακά.

: Pascal.png (41.17 KiB) Προβλήθηκε 945 φορές

$\bullet$ Επίσης από το Θεώρημα του Pascal στο κυρτό εκφυλισμένο εγγεγραμμένο στον $\left( O \right)$ εξάγωνο τα σημεία $P\equiv DD\cap BB,E\equiv DC\cap BA,Z\equiv CB\cap AD$ είναι συνευθειακά και με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.

Προφανώς η ευθεία είναι η πολική του ως προς τον κύκλο $\left( O \right)$ .
Έτσι το ανήκει στην πολική του οπότε το είναι σημείο της πολικής του . Επίσης προφανώς είναι η πολική του και με $Z\in AD\Rightarrow N$ είναι σημείο της πολικής του , άρα η $SN\equiv ENSK$ είναι η πολική του ως προς τον $\left( O \right)$ και συνεπώς η σειρά $\left( Z,A,T,D \right)$ με $T\equiv EK\cap AD$ είναι αρμονική, οπότε και η σειρά $\left( Z,B,F,C \right)$ με $F\equiv EK\cap BC$ είναι αρμονική , άρα και η δέσμη είναι αρμονική , συνεπώς και η σειρά $\left( Z,P,E,Q \right)$ είναι αρμονική και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Με εκτίμηση

Στάθης

Υ.Σ . Η επιλογή του κύκλου ως την κωνική τομή ειναι εντελώς τυχαία αφού όσες σχέσεις και θεωρήματα χρησιμοποιήθηκαν ισχύουν σε οποιαδήποτε κωνική τομή

#3

Στάθη, Φίλε, έτσι είναι όπως τα λες!

Να περνάς πάντα καλά!

Pascal...

Pascal...

Re: Pascal...

Re: Pascal...

Μέλη σε σύνδεση