Σε σταθερό κύκλο

#1

: Σε σταθερό κύκλο.png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 961 φορές

Δίδονται τα σταθερά σημεία $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ και το μεταβλητό

για το οποίο : 3(AC - AB) = BC

.

Έστω

το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ και

το ( άλλο) σημείο τομής του κύκλου διαμέτρου

με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ .

Δείξετε ότι το

ανήκει σε σταθερό κύκλο .

#2

Επαναφορά

#3

Doloros έγραψε: Κυρ Ιουν 10, 2018 12:53 pm Σε σταθερό κύκλο.png

Δίδονται τα σταθερά σημεία $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ και το μεταβλητό για το οποίο : .

Έστω το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ και το ( άλλο) σημείο τομής του κύκλου διαμέτρου με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ .

Δείξετε ότι το ανήκει σε σταθερό κύκλο .

: Σε σταθερό κύκλο.png (28.49 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

$\displaystyle \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{1}{2}$ και το

είναι σημείο του Απολλώνιου κύκλου. Η πλήρης λύση αύριο.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

#4

george visvikis έγραψε: Κυρ Ιουν 17, 2018 8:31 pm
Doloros έγραψε: Κυρ Ιουν 10, 2018 12:53 pm Σε σταθερό κύκλο.png

Δίδονται τα σταθερά σημεία $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ και το μεταβλητό για το οποίο : .

Έστω το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ και το ( άλλο) σημείο τομής του κύκλου διαμέτρου με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ .

Δείξετε ότι το ανήκει σε σταθερό κύκλο .
Σε σταθερό κύκλο.png

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
$\displaystyle \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{1}{2}$ και το είναι σημείο του Απολλώνιου κύκλου. Η πλήρης λύση αύριο.

Πολύ ωραία η λύση σου φαίνεται ξεκάθαρα στο σχήμα

#5

Σ' ευχαριστώ πολύ Νίκο. Ας δούμε όμως αναλυτικά τη λύση.

: Σε σταθερό κύκλο.png (28.49 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Έστω

τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές BC, AB, AC

αντίστοιχα. Προφανώς ο κύκλος

διαμέτρου

διέρχεται από τα E, Z

(οι

είναι κάθετες στις πλευρές του).

$\displaystyle BD = BE = s - b = \frac{{a + c - b}}{2} = \frac{{a - \frac{a}{3}}}{2} = \frac{a}{3}$ και $\displaystyle DC = DZ = \frac{{2a}}{3}$

Λόγω των ίσων εγγεγραμμένων γωνιών τα τρίγωνα MEB, MZC

είναι όμοια: $\displaystyle \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{BE}}{{CZ}} = \frac{1}{2}.$ Άρα ο γεωμετρικός τόπος

είναι ο Απολλώνιος κύκλος διαμέτρου $\displaystyle PD = \frac{{4a}}{3}$ όπως φαίνεται στο σχήμα.

Σε σταθερό κύκλο

Σε σταθερό κύκλο

Re: Σε σταθερό κύκλο

Re: Σε σταθερό κύκλο

Re: Σε σταθερό κύκλο

Re: Σε σταθερό κύκλο

Μέλη σε σύνδεση