Πολυώνυμο -διαιρετότητα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω

$f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)....(x+n)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_{1}x+a_{0}$

όπου

$n\geq 4$ και $a_{n}=1$

Θέτουμε

$S_{i}=a_{i}+a_{i+4}+a_{i+2.4}+...+a_{i+k.4}+...$

για i=0,1,2,3

Να δειχθεί ότι το

διαιρεί το $S_{i}$ για i=0,1,2,3

#2

Για

, και εργαζόμενοι modulo 5 έχουμε $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \equiv (x+1)(x+2)(x-2)(x-1) = (x^2-1)(x^2-4) = x^4+4$ . Οπότε το ζητούμενο ισχύει για n=4

. (*)

Αν το ζητούμενο ισχύει για το πολυώνυμο g(x)

τότε αναγκαστικά ισχύει και για το πολυώνυμο h(x) = g(x)(x+k)

αφού $S_i(h) = kS_i(g) + S_{i-1}(g)$ .

Επαγωγικά λοιπόν το ζητούμενο ισχύει και για κάθε $n \geqslant 4$ .

(*) Μπορούμε επίσης να επικαλεστούμε ότι το f(x) = x^4 - 1

(από μικρό Fermat) έχει ρίζες τα x=1,2,3,4

modulo

και άρα παραγοντοποιείται ως (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

modulo 5. Εδώ είναι βασικό ότι το

είναι πρώτος. Π.χ. το f(x) = x^3-x

έχει ρίζες τα 0,1,2,3,4,5

modulo

αλλά προφανώς δεν παραγοντοποιείται ως x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Demetres έγραψε: Δευ Ιούλ 02, 2018 7:26 pm Για , και εργαζόμενοι modulo 5 έχουμε $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \equiv (x+1)(x+2)(x-2)(x-1) = (x^2-1)(x^2-4) = x^4+4$ . Οπότε το ζητούμενο ισχύει για . (*)

Αν το ζητούμενο ισχύει για το πολυώνυμο τότε αναγκαστικά ισχύει και για το πολυώνυμο αφού $S_i(h) = kS_i(g) + S_{i-1}(g)$ .

Επαγωγικά λοιπόν το ζητούμενο ισχύει και για κάθε $n \geqslant 4$ .

(*) Μπορούμε επίσης να επικαλεστούμε ότι το (από μικρό Fermat) έχει ρίζες τα modulo και άρα παραγοντοποιείται ως modulo 5. Εδώ είναι βασικό ότι το είναι πρώτος. Π.χ. το έχει ρίζες τα modulo αλλά προφανώς δεν παραγοντοποιείται ως .

Την ίδια λύση έχω και εγώ.

Η άσκηση είναι από το βιβλίο του Ν.Ρούτση Πολυώνυμα έκδοση κάπου το 1975

Πολυώνυμο -διαιρετότητα

Πολυώνυμο -διαιρετότητα

Re: Πολυώνυμο -διαιρετότητα

Re: Πολυώνυμο -διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση