IMC 2018/1/4

#1

Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$ ώστε

$\displaystyle f(b)-f(a)=(b-a)f’(\sqrt{ab})$

για κάθε a,b > 0

.

dement · #2

Θέτουμε $\displaystyle b \equiv \frac{x^2}{a}$ και παίρνουμε $\displaystyle f'(x) = \frac{f(x^2/a) - f(a)}{x^2/a - a}$ για $x \neq a$ . Εύκολα αποδεικνύουμε τώρα με επαγωγή ότι η

έχει παράγωγο οποιασδήποτε τάξης.

Γράφουμε $f(x) = f(a) + (x-a) f'(\sqrt{ax})$ . Παραγωγίζοντας τρεις φορές ως προς

και θέτοντας x=a

έχουμε $\displaystyle f'''(a) + \frac{3}{a} f''(a) = 0$ . Λύνοντας τη διαφορική εξίσωση παίρνουμε $\displaystyle f''(x) = \frac{C}{x^3} \implies f(x) = \frac{P}{x} + Qx + R$ . Εύκολα επαληθεύουμε ότι κάθε συνάρτηση αυτής της μορφής είναι λύση.

IMC 2018/1/4

IMC 2018/1/4

Re: IMC 2018/1/4

Μέλη σε σύνδεση