Τριγωνομετρία

Tolaso J Kos · #1

Τη παρακάτω άσκηση τη θεωρώ εντελώς βασική για τη τριγωνομετρία αυτής της τάξεως και την έχω συμπεριλάβει σε ένα επαναληπτικό διαγώνισμα.

Αν για την οξεία γωνία $\omega$ ισχύει $\text{\gr ημ} \; \omega = \frac{3}{5}$ τότε:

Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.
Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

$\displaystyle{\mathcal{A} = \text{\gr ημ}^2 \; 65^\circ \left( \text{\gr ημ} \; \omega + \text{\gr συν} \; \omega \right) - \text{\gr συν}^2 \; 115^\circ \left( \text{\gr συν}\; ( 180^\circ - \omega ) - \text{\gr ημ}\; \omega \right)}$

Tolaso J Kos · #2

Ισχύει η βασική σχέση $\displaystyle{\sin^2 \omega + \cos^2 \omega =1}$ διὰ κάθε γωνία $\omega$ . Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sin^2 \omega + \cos^2 \omega =1 &\Leftrightarrow \cos^2 \omega = 1 - \sin^2 \omega \\ &\!\!\!\!\!\!\!\overset{0 \leq \omega <90}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! \Rightarrow} \cos \omega = \sqrt{1 - \sin^2 \omega} \\ &\Leftrightarrow \cos \omega = \sqrt{1- \left ( \frac{3}{5} \right )^2} \\ &\Leftrightarrow \cos \omega = \sqrt{\frac{25-9}{25}} \\ &\Leftrightarrow \cos \omega = \sqrt{\frac{16}{25}} \\ &\Leftrightarrow \cos \omega = \frac{4}{5} \end{aligned}}$
Τέλος, από τη σχέση $\displaystyle{\tan \omega = \frac{\sin \omega}{\cos \omega}}$ βγάζουμε ότι:

$\displaystyle{\tan \omega = \frac{\sin \omega}{\cos \omega} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}}$
Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{A} &= \sin^2 65^\circ \left( \sin \omega + \cos \omega \right) - \cos^2 115^\circ \left( \cos ( 180^\circ - \omega ) - \sin \omega \right) \\ &=\sin^2 65^\circ \left ( \sin \omega + \cos \omega \right ) - \cos^2 115^\circ \left ( -\cos \omega - \sin \omega \right ) \\ &=\sin^2 65^\circ \left ( \sin \omega + \cos \omega \right ) + \cos^2 115^\circ \left ( \cos \omega + \sin \omega \right ) \\ &= \left ( \sin \omega + \cos \omega \right ) \cancelto{1}{\left ( \sin^2 65^\circ + \cos^2 65^\circ \right )} \\ &= \sin \omega + \cos \omega \\ &= \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \\ &= \frac{7}{5} \end{aligned}}$

Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση