Μεγιστοποίηση γωνίας

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση γωνίας.png (8.16 KiB) Προβλήθηκε 852 φορές

Οι πλευρές AB,AC

έχουν σταθερά μήκη , ενώ η

- με μέσο το

-μεταβάλλεται .

Με χρήση ενός τριγωνομετρικού αριθμού της γωνίας $\widehat{AMB}=\theta$ , ( ας πούμε της $\tan\theta}$ )

( ή αλλιώς ) , εκτιμήστε τη μέγιστη τιμή της $\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 13, 2018 9:38 am Μεγιστοποίηση γωνίας.pngΟι πλευρές έχουν σταθερά μήκη , ενώ η - με μέσο το -μεταβάλλεται .

Με χρήση ενός τριγωνομετρικού αριθμού της γωνίας $\widehat{AMB}=\theta$ , ( ας πούμε της $\tan\theta}$ )

( ή αλλιώς ) , εκτιμήστε τη μέγιστη τιμή της $\theta$ .

: Μεγιστοποίηση γωνίας.png (9.78 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Από 2ο θ. διαμέσων, $\displaystyle aDM = 12$ και $\displaystyle \tan \theta = \frac{{AD}}{{DM}} = \frac{{aAD}}{{12}} = \frac{{bc\sin A}}{{12}} = \frac{{35}}{{12}}\sin A \le \frac{{35}}{{12}}$

Η γωνία $\theta$ μεγιστοποιείται λοιπόν στο ορθογώνιο τρίγωνο και είναι περίπου $71.075355^\circ$

#3

Καλημέρα σε όλους.

: 13-10-2018 Γεωμετρία.jpg (26.06 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Έστω

.

Είναι $\displaystyle {C_1}:\;\;{\left( {x + a} \right)^2} + {y^2} = 25,\;\;\;\;{C_2}:\;\;{\left( {x - a} \right)^2} + {y^2} = 49$ .

Τέμνονται στο πάνω ημιεπίπεδο στο $\displaystyle A\left( { - \frac{6}{a},\;\sqrt {\frac{{ - {a^4} + 37{a^2} - 36}}{{{a^2}}}} } \right)$ .

Αφού τα τρίγωνα MBA, CMA

έχουν δύο πλευρές ίσες και τις τρίτες άνισες, είναι $\displaystyle AB < AC \Leftrightarrow \widehat {BMA} < \widehat {CMA}$ , οπότε $\displaystyle \theta < 90^\circ$ .

Τότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{\sqrt {\frac{{ - {a^4} + 37{a^2} - 36}}{{{a^2}}}} }}{{\frac{6}{a}}} = \sqrt {\frac{{ - {a^4} + 37{a^2} - 36}}{{36}}}$ .

Η εφαπτομένη της οξείας γωνίας $\displaystyle \theta$ , άρα και το μέτρο της γωνίας, παρουσιάζει μέγιστο όταν το υπόρριζο παρουσιάζει μέγιστο, που συμβαίνει όταν $\displaystyle a = \sqrt {\frac{{37}}{2}}$ .

Altrian · #4

Καλημέρα σε όλους,

Από το

φέρνω τμήματα $CP=\left | \right |CF=\left | \right |AB=5$ . Το $\triangle PAF$ έχει σταθερά τα σημεία P,C,F

και την διάμεσο AC=7

. Το μόνο που μεταβάλλεται είναι η $\angle PAF=\angle \theta$ που μεγιστοποιείται όταν $PA=AF\Rightarrow AC$ κάθετη στην

δηλ. όταν το $\triangle ABC$ είναι ορθογώνιο στο

.
Τότε $tan(\theta/2)=\frac{5}{7}\Rightarrow tan(\theta)=\frac{2tan(\theta/2)}{1-tan^{2}(\theta/2)}=\frac{70}{24}\Rightarrow \theta\approx 71$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

#5

: Διάμεσος και μεγίστη γωνία.png (21.37 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

Η οξεία γωνία $\theta$ γίνεται μέγιστη όταν η γωνία $\omega$ γίνεται ελάχιστη δηλαδή $0^\circ$ . Τότε το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο και

$AM = MB = MC = \sqrt {12 + 49} = \sqrt {74}$ . Από το Θ συνημιτόνου στο $\vartriangle ABM$ $\boxed{\cos \theta = \dfrac{{35}}{{12}}}$

Τώρα βλέπω ότι από την αρχή η καθετότητα εντοπίστηκε από το Γιώργο το Βισβίκη και τους υπόλοιπους . (αλλά με άλλο τρόπο .)

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλησπέρα σε όλους. Να πω ότι μου άρεσε ( και ..

..δεν είναι πρώτη φορά !) το σκεπτικό του Αλέξανδρου.
Μια προσπάθεια για να δείξουμε την πρότασή του :
Στο τρίγωνο PAF

με

και

η $\widehat{PAF}=\theta$ γίνεται μέγιστη όταν PA=AF

Με το α' θεώρημα διαμέσων : $PA^{2}+AF^{2}=2AC^{2}+2PC^{2}=..=148$

και από τον Ν. Συνημιτόνων $cos\theta =\dfrac{(PA^{2}+AF^{2})-PF^{2}}{2PA\cdot AF}=..=\dfrac{24}{PA\cdot AF}$

Η $\theta \in \left ( 0,\pi \right )$ γίνεται max όταν το $cos\theta$ γίνει min κι' αυτό όταν το $PA \cdot AF$ γίνει max

Θέτω PA=x

.Τότε $AF=\sqrt{148-x^{2}}$ και $PA \cdot AF=x\sqrt{148-x^{2}}$ . Με χρήση παραγώγου παίρνουμε μέγιστο
όταν $x=\sqrt{74}$ δηλ. όταν PA=AF

. Άρα η $\theta$ γίνεται μέγιστη όταν το τρίγωνο PAF

είναι ισοσκελές..

Φιλικά Γιώργος.

Μεγιστοποίηση γωνίας

Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Μέλη σε σύνδεση