Όριο ακολουθίας με συνάρτηση Dirichlet

#1

Μία άσκηση για φοιτητές πού τώρα πρωτοάκουσαν όρια ακολουθιών:

Έστω $f : \mathbb R \to \mathbb R$ η συνάρτηση Dirichlet, δηλαδή $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1,& x\in \mathbb Q & \\ 0 , & x \in \mathbb R - \mathbb Q& \end{matrix}\right.$ .

Να βρεθεί το όριο $\displaystyle{\lim _{n\to \infty} \dfrac {1}{n} \left (f(\sqrt 1)+ f(\sqrt 2)+f(\sqrt 3)+ ...+ f(\sqrt n)\right )}$

sov_arvyd · #2

$0\leq \displaystyle{ \dfrac {1}{n} \left (f(\sqrt 1)+ f(\sqrt 2)+f(\sqrt 3)+ ...+ f(\sqrt n)\right )}=\frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}}\ \forall n\in \mathbb{N}$ .
Το ζητόυμενο όριο λοιπόν από κριτήριο παρεμβολής είναι

.

#3

sov_arvyd έγραψε: Τρί Νοέμ 13, 2018 12:38 am $0\leq \displaystyle{ \dfrac {1}{n} \left (f(\sqrt 1)+ f(\sqrt 2)+f(\sqrt 3)+ ...+ f(\sqrt n)\right )}=\frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}}\ \forall n\in \mathbb{N}$ .
Το ζητόυμενο όριο λοιπόν από κριτήριο παρεμβολής είναι .

Aν κάποιος χρειάζεται εξήγηση γιατί $f(\sqrt 1)+ f(\sqrt 2)+f(\sqrt 3)+ ...+ f(\sqrt n)\right )}=\left \lfloor \sqrt{n} \rfloor$ ας το ζητήσει.

(Υπόδειξη, το $\sqrt m$ είναι ρητός αν και μόνον αν

τέλειο τετράγωνο. Άρα ...)

Όριο ακολουθίας με συνάρτηση Dirichlet

Όριο ακολουθίας με συνάρτηση Dirichlet

Re: Όριο ακολουθίας με συνάρτηση Dirichlet

Re: Όριο ακολουθίας με συνάρτηση Dirichlet

Μέλη σε σύνδεση