Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

LeoKoum · #1

Καλησπερα,
Εχω κολλησει σε ενα προβλημα στα μαθηματικα της γ λυκειου και θα ηθελα την βοηθεια σας.
Δινεται συναρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ η οποια ειναι 2 φορες παραγωγισιμη και διαφορη του μηδενος, με

f(0)=2, f'(0)=-2, f(1)=1

Να δειξετε οτι υπαρχει $\xi \in (0,1)$ τετοιο ωστε $f(\xi) f'(\xi)+ f''(\xi)=0$ .

Ευχαριστω,
Λεωνιδας

Λάμπρος Κατσάπας · #2

LeoKoum έγραψε: Κυρ Νοέμ 11, 2018 3:44 pm Καλησπερα,
Εχω κολλησει σε ενα προβλημα στα μαθηματικα της γ λυκειου και θα ηθελα την βοηθεια σας.
Δινεται συναρτηση f:R->R η οποια ειναι 2 φορες παραγωγισιμη και διαφορη του μηδενος, με
f(0)=2
f'(0)=-2
f(1)=1
Να δειξετε οτι υπαρχει ξΕ(0,1) τετοιο ωστε f(ξ)*f'(ξ)+f''(ξ)=0

Ευχαριστω,
Λεωνιδας

Προσπάθησε να γράφεις σε Latex.

To $\xi$ που μας ζητάει είναι λύση της εξίσωσης f(x ){f}'(x)+{f}''(x)=0.

Μετασχηματίζουμε την προς απόδειξη σχέση σε μια ισοδύναμη και πιο εύκολα διαχειρίσιμη. Η ποσότητα

$f(\xi ){f}'(\xi)$ παραπέμπει σε παράγωγο της f^2(x)

υπολογισμένη στο $\xi$ .

Με αυτό κατά νου έχουμε:

$f(x ){f}'(x)+{f}''(x)=0\Leftrightarrow 2f(x ){f}'(x)+2{f}''(x)=0\Leftrightarrow {(f^2(x )+2{f}'(x))}'=0 \Leftrightarrow$

${(f^2(x)(1+\frac{2{f}'(x)}{f^2(x)}))}'=0.$

Θεώρησε τώρα την $g(x)=x-\frac{2}{f(x)},x\in[0,1].$ Ποιο θεώρημα σου εξασφαλίζει ρίζα της παραγώγου {g}'

στο

;

Έστω $\rho$ αυτή τη ρίζα. Επίσης η {g}'

έχει μια ακόμα ρίζα (βρες την από τα δεδομένα).

Ξανά εφαρμογή του προηγούμενου θεωρήματος και τελείωσες.

LeoKoum · #3

Σας ευχαριστω πολυ για τον χρονο σας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Ηταν το πρόβλημα 4 στην IMC 1998
με την διαφορά ότι εκεί δεν υπέθετε ότι $f(x)\neq 0$

Θα δώσω την λύση και στην περίπτωση που η

έχει ρίζες ακολουθώντας τους συμβολισμούς και τις σκέψεις του Λάμπρου.
(αυτή η λύση είναι διαφορετική από την επίσημη).

Πρέπει να δείξουμε ότι η $h(x)=f^2(x )+2{f}'(x)$

μηδενίζεται σε σημείο του (0,1)

Παίρνουμε την 'πρώτη' ρίζα της

(αυτό το σημείο είναι εκτός σχολικής ύλης)

Δηλαδή το $r=inf\left \{ x\in (0,1):f(x)=0 \right \}$

Αυτό υπάρχει γιατί το σύνολο $\left \{ x\in (0,1):f(x)=0 \right \}$ είναι κλειστό και είναι

r>0

Επειδή είναι $x\in (0,r)\Rightarrow f(x)>0$

Παίρνουμε ότι $f'(r)=\lim_{x\rightarrow r^{-}}\dfrac{f(x)}{x-r}\leq 0$

Αλλά h(r)=2f'(r)

Αν

καθαρίσαμε.

Αν h(r)=2f'(r)<0

τότε αν η

δεν μηδενίζεται θα διατηρεί πρόσημο.

Αρα h'(x)<0

στο

δηλαδή $x\in (0,1)\Rightarrow h(x)=f^2(x )+2{f}'(x)<0$

και αμέσως προκύπτει ότι $x\in (0,1)\Rightarrow {f}'(x)<0$

Αρα η

είναι γνησίως φθίνουσα .

Τότε όμως 0=f(r)>1=f(1)

που είναι ΑΤΟΠΟ

#5

Έφτιαξα το $\LaTeX$ στην πρώτη ανάρτηση. Να υπενθυμίσω επίσης ότι πρέπει να τονίζουμε τα κείμενά μας.

#6

Μια λίγο διαφορετική λύση στο βιβλίο μου Οι Ασκήσεις 5Δ4 . σελ 360 στα αρχεία του

Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

Re: Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

Re: Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

Re: Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

Re: Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

Re: Σπαζοκεφαλια : Αναλυση Γ λυκειου

Μέλη σε σύνδεση