Διτοπία

KARKAR · #1

: Διτοπία.png (14.81 KiB) Προβλήθηκε 1172 φορές

Η ευθεία

τέμνει τον κύκλο x^2+y^2=9

στα σημεία B,C

. Σημείο

κινείται

στο μείζον τόξο $\overset{\frown}{BC}$ . Βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους ( την καρτεσιανή τους έκφραση ) :

α) του μέσου

της πλευράς

... β) της προβολής

του σημείου

επί της

.

#2

α) Ένας τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι το

είναι το ομοιόθετο του

ως προς κέντρο

και λόγο

. Άρα το

γράφει κύκλο κέντρου το ομοιόθετο του

ως προς

και ακτίνας 3/2

(το μισό του δοθέντα). Δεδομένου ότι το

είναι $C(\sqrt 5, -2)$ , τα υπόλοιπα απλά.

Άλλος τρόπος είναι να πούμε: Το

είναι της μορφής $(3\sin t, \, 3\cos t)$ και άρα το $M(x,\, y)$ είναι $\left ( \dfrac { 3\sin t+\sqrt 5}{2}, \, \dfrac {3\cos t-2}{2}\right )$ . Συγκρίνοντας τις συντεταγμένες του

έπεται

$\displaystyle{\sin t = \dfrac {2x-\sqrt 5}{3}, \, \cos t = \dfrac {2y+2}{3}}$ που με χρήση της $\displaystyle{\sin ^2t + \cos ^2t=1}$ γράφεται $\displaystyle{\left ( \dfrac {2x-\sqrt 5}{3}\right )^2+ \left ( \dfrac {2y+2}{3}\right )^2=1}$ , (κύκλος).

Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο γίνεται και η β) αφού βρούμε τις συντεταγμένες του

. Δεν το έκανα μέχρι τέλους και το αφήνω λόγω επίπονης πληκτρολόγισης για θέμα αρκετά προσιτό.

KARKAR · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Δεκ 01, 2018 10:06 am
Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο γίνεται και η β) αφού βρούμε τις συντεταγμένες του .

Μιχάλη , νομίζω ότι ο δεύτερος τόπος είναι δυσκολότερος , παρότι δίνει "καλύτερο" αποτέλεσμα .

#4

: Διτοπία.png (56.95 KiB) Προβλήθηκε 1140 φορές

Και οι δύο τόποι ( τόξα κύκλων) προκύπτουν με Ευκλείδεια γεωμετρία .

Αν

η προβολή του

στον οριζόντιο άξονα και

το συμμετρικό του

ως προς αυτόν ,

τα μέσα $L,\,\,K$ των

και

είναι τα κέντρα των αντιστοίχων κύκλων που έχουν διαμέτρους τα

και

.

Οι εξισώσεις μετά είναι απλή υπόθεση

Λεπτομέρειες λίγο αργότερα σήμερα .

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 01, 2018 9:21 am Διτοπία.pngΗ ευθεία τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Σημείο κινείται

στο μείζον τόξο $\overset{\frown}{BC}$ . Βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους ( την καρτεσιανή τους έκφραση ) :

α) του μέσου της πλευράς ... β) της προβολής του σημείου επί της .

Για το β)

: Διτοπία.png (22.59 KiB) Προβλήθηκε 1135 φορές

Από το πρώτο ερώτημα το σημείο

κινείται σε κύκλο διαμέτρου

που επανατέμνει τον άξονα των

στο

και διέρχεται

από το μέσο

της

Άρα, $\displaystyle N\widehat ME = 90^\circ ,NM||AB \Rightarrow EM \bot AB$ και τα S, M, E

είναι συνευθειακά.

Το

κινείται λοιπόν σε κύκλο διαμέτρου BE.

Αλλά $B( - \sqrt 5 , - 2),E(\sqrt {5,} 0),$ οπότε το κέντρο είναι K(0,-1),

η ακτίνα

$r=\sqrt 6$ και η εξίσωση του κύκλου $\boxed{x^2+(y+1)^2=6}$ που περιορίζεται στο μεγάλο τόξο $\overset\frown{BC}$

#6

Επανέρχομαι για τις λεπτομέρειες

Έστω

η προβολή του

στον οριζόντιο άξονα ,

το συμμετρικό του

ως προς αυτόν , $L\,,\,\,K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,T$ τα μέσα των $OC\,\,,\,\,BE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

1.

Επειδή $TM//AB\,\,$ και η επίκεντρη διπλάσιας κάθε αντίστοιχης

εγγεγραμμένης , θα είναι $\widehat {{\alpha _3}} = \widehat {{\alpha _4}} = \widehat {{\alpha _2}}$ συνεπώς το σταθερό τμήμα

φαίνεται υπό σταθερή γωνία ( $\widehat A = \widehat {{\alpha _4}}$ ) από το

άρα ανήκει στο τόξο του

κύκλου διαμέτρου

που βρίσκεται μέσα στον κύκλο (O,3)

.

Επειδή $TC = \sqrt {O{C^2} - O{T^2}} = \sqrt 5$ θα είναι $\boxed{L(\frac{{\sqrt 5 }}{2}, - 1)}$ και η εξίσωση του κύκλου

$\boxed{\left( {L,\frac{3}{2}} \right) \to {{\left( {x - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} = {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}$ .

: Διτοπία.png (56.95 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές

2.

Επειδή αναγκαστικά θα είναι $\widehat {BAD} = 90^\circ$ και ME//AD

θα είναι $ME \bot AC$ συνεπώς τα σημεία $S,\,\,M,\,\,E$ ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Το

βλέπει το σταθερό τμήμα

υπό ορθή γωνία άρα ανήκει στον κύκλο διαμέτρου

και αφού

και $BE = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {24} \Rightarrow KB = KE = \sqrt 6$

Θα έχει εξίσωση ${x^2} + {(y + 1)^2} = 6$ . Ο γ. τ. είναι το το μεγάλο τόξο που ορίζουν τα T,E,C

.

nikkru · #7

KARKAR έγραψε: Σάβ Δεκ 01, 2018 9:21 am Διτοπία.pngΗ ευθεία τέμνει τον κύκλο στα σημεία . Σημείο κινείται

στο μείζον τόξο $\overset{\frown}{BC}$ . Βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους ( την καρτεσιανή τους έκφραση ) :

α) του μέσου της πλευράς ... β) της προβολής του σημείου επί της .

Άλλη μια γεωμετρική λύση, σε κάποια σημεία παρόμοια με τις προηγούμενες.

α) Φέρνοντας το απόστημα

είναι φανερό ότι το

κινείται σε κύκλο διαμέτρου

,
οπότε ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία του κύκλου $x(x-\sqrt{5})+y(y+2)=0$ με $y\geq -2$ .

β) Αν το τόξο του α) ερωτήματος τέμνει τον

στο

τότε $KM \perp MN$ και αφού M,N

μέσα των

θα είναι και $KM \perp AB$ .
Έτσι, το

ανήκει σε κύκλο διαμέτρου

και ο γεωμετρικός τόπος είναι το τόξο του κύκλου x^2+(y+1)^2=6

με $y\geq -2$ .

: Διτοπία.png (20.53 KiB) Προβλήθηκε 1094 φορές

Διτοπία

Διτοπία

Re: Διτοπία

Re: Διτοπία

Re: Διτοπία

Re: Διτοπία

Re: Διτοπία

Re: Διτοπία

Μέλη σε σύνδεση