Putnam 2018/A1

#1

Το Σαββατοκύριακο που μας πέρασε διεξήχθη ο διαγωνισμός Putnam. Θα βάλω σιγά σιγά τα θέματα. Ξεκινάω από το Α1 που είναι κλασικό και κάνει και για το Γυμνάσιο.

Να βρεθούν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b)

ώστε

$\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2018}$

Τσιαλας Νικολαος · #2

Θαλής 2018 γ΄γυμνασίου 3ο θέμα???

#3

Demetres έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 04, 2018 4:15 pm
Το Σαββατοκύριακο που μας πέρασε διεξήχθη ο διαγωνισμός Putnam. Θα βάλω σιγά σιγά τα θέματα. Ξεκινάω από το Α1 που είναι κλασικό και κάνει και για το Γυμνάσιο.

Να βρεθούν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη θετικών ακεραίων ώστε

$\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2018}$

Μάλλον απλή για το επίπεδο των φοιτητών που παίρνουν μέρος στον διαγωνισμό.

Με την λύση (a,b)

έχουμε και την συμμετρική λύση (b,a)

, οπότε ας βρούμε "τις μισές". Σε πρώτους παράγοντες είναι $2018=2\cdot 1009$ οπότε η σχέση γράφεται

$\displaystyle{ 1009\cdot 2 \cdot (a+b) = 3ab}$ . Χωρίς βλάβη 1009 | b

(η συμμετρική περίπτωση 1009 | a

όμοια). Άρα $\displaystyle{b= 1009c}$ και η σχέση γίνεται

$\displaystyle{2(a+1009c) = 3ac}$ . Άρα $\displaystyle{3c= \frac {6a}{3a-2018}= 2+ \frac {4\cdot 1009}{3a-2018}}$ , που σημαίνει

ότι ο 3a-2018

είναι ένας από τους $\displaystyle{\pm 1, \, \pm 2 , \, \pm 4 , \, \pm 1\cdot 1009, \, \pm 2\cdot 1009 , \, \pm 4 \cdot 1009}$ .

Εύκολα τώρα βρίσκουμε τα ακέραια

. Αν δεν έχασα κάποια βρίσκουμε τις λύσεις a= 673

ή

. Από εκεί τα αντίστοιχα

και

(αλλά μη ξεχνάμε τις συμμετρικές λύσεις, όπου έχουμε άλλα τρία

). Αφήνω τις πράξεις

Τσιαλας Νικολαος · #4

Μιας και ο Δημήτρης έβαλε την άσκηση εδώ να σημειώσουμε ότι η άσκηση έχει εμφανιστεί σχεδόν ίδια σε διαγωνισμό επιλογής στην Κύπρο το 2017!!

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 04, 2018 7:58 pm
Μάλλον απλή για το επίπεδο των φοιτητών που παίρνουν μέρος στον διαγωνισμό.

Μιχάλη, σχεδόν πάντα η Α1 και η Β1 είναι απλές. Έχουν 6 ασκήσεις την ημέρα να λύσουν οπότε δεν χάθηκε ο κόσμος να βάλουν και κάποιες εύκολες.

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 05, 2018 1:05 am
Μιας και ο Δημήτρης έβαλε την άσκηση εδώ να σημειώσουμε ότι η άσκηση έχει εμφανιστεί σχεδόν ίδια σε διαγωνισμό επιλογής στην Κύπρο το 2017!!

Μας αντιγράφουν! Η δική μας πάντως ήταν πιο εύκολη μιας και ο 2017

είναι πρώτος.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 04, 2018 7:58 pm
οπότε η σχέση γράφεται

$\displaystyle{ 1009\cdot 2 \cdot (a+b) = 3ab}$ .

Λίγο διαφορετικά, μπορούμε από εδώ να παραγοντοποιήσουμε

$(3a - 2 \cdot 1009)(3b - 2\cdot 1009) =2^2 \cdot 1009^2$

Επειδή οι όροι στο αριστερό μέλος είναι και οι δύο $1 \bmod 3$ πρέπει να έχουμε

$\displaystyle 3a - 2 \cdot 1009 \in \{1,4,1009,4 \cdot 1009, 1009^2, 4 \cdot 1009^2\}$

κ.τ.λ.

Τσιαλας Νικολαος · #6

Δημήτρη καλημέρα! Στην πράξη το ίδιο πράγμα είναι! Δεν νομίζω ότι θα δυσκολέψει μαθητή το 2018. Π.χ ακόμη και φέτος οι μαθητές μου πριν το Θαλή, μου τόνισαν από μόνοι τους ότι το 2018 γράφεται σαν γινόμενο 2 πρώτων!

Υ.γ: πολύ μου αρέσει και η γενίκευση στο επόμενο ποστ που έδωσε σαν άσκηση ο κύριος Μιχάλης καθώς και η ιστορική αναδρομή την οποία ομολογώ ότι δεν ήξερα!

Τσιαλας Νικολαος · #7

Ας δούμε και το θέμα της Κύπρου λοιπόν...

viewtopic.php?f=58&t=57718

Putnam 2018/A1

Putnam 2018/A1

Re: Putnam 2018/A1

Re: Putnam 2018/A1

Re: Putnam 2018/A1

Re: Putnam 2018/A1

Re: Putnam 2018/A1

Re: Putnam 2018/A1

Μέλη σε σύνδεση