"Άσχημη" άσκηση.

Proclus · #1

Μια παλιά(1990ς) άσκηση Γ' Λυκειου που έτυχε να ξαναδώ σημερα. Θα την χαρακτήριζα άσχημη και μη-κομψή στο α) σκέλος της, αλλά for what is worth την δίνω εδώ, όλο και σε κάποιον θα φανεί χρήσιμη....
(Το β) δεν είναι ακριβώς θέμα του παρόντος τόπικ διαφορικόυ λογισμού(πχ Boltzano) αλλά δεν πειραζει)

Αν εχουμε συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ οπου η f ειναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο διαστημα [α , α+2h] με h>0 και $\displaystyle{\displaystyle a \in R,h \in R}$ , τότε:

α) Να αποδειχτεί ότι υπάρχει $\displaystyle{\displaystyle \theta \in (0,1)}$ έτσι ωστε να ισχύει:
$\displaystyle{\displaystyle f(\alpha ) - 2f(\alpha + h) + f(a + 2h) = {h^2} \cdot f''(\alpha + 2 \cdot \theta \cdot h)}$

β) Αν $\displaystyle{\displaystyle \lambda \in (1,2)}$ τότε να αποδειχτεί οτι η εξίσωση ως προς x:
$\displaystyle{\displaystyle \theta \lambda ({x^2} + 2) + \lambda {x^2} - 3\theta = \lambda + 3}$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1,2)

#2

Proclus έγραψε: Παρ Δεκ 07, 2018 10:32 pm Αν εχουμε συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ οπου η f ειναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο διαστημα [α , α+2h] με h>0 και $\displaystyle{\displaystyle a \in R,h \in R}$ , τότε:

α) Να αποδειχτεί ότι υπάρχει $\displaystyle{\displaystyle \theta \in (0,1)}$ έτσι ωστε να ισχύει:
$\displaystyle{\displaystyle f(\alpha ) - 2f(\alpha + h) + f(a + 2h) = {h^2} \cdot f''(\alpha + 2 \cdot \theta \cdot h)}$

β) Αν $\displaystyle{\displaystyle \lambda \in (1,2)}$ τότε να αποδειχτεί οτι η εξίσωση ως προς x:
$\displaystyle{\displaystyle \theta \lambda ({x^2} + 2) + \lambda {x^2} - 3\theta = \lambda + 3}$ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (1,2)

H αληθινή αξία της α) είναι ότι, υπό απαλές προϋποθέσεις, τo κλάσμα $\displaystyle{\frac { f(\alpha ) - 2f(\alpha + h) + f(a + 2h)}{h^2}}$ είναι $\approx f''(a)$ . Πράγμα απρόσμενο. Για παράδειγμα αν η f''

ήταν συνεχής στο

, το κλάσμα που έγραψα τείνει στο f''(a)

καθώς $h\to 0$ (κάνουμε δύο φορές l' Hospital)

Για απόδειξη του α) παραπάνω κάνουμε δύο φορές ΘΜΤ αφού πρώτα το γράψουμε στην μορφή $\displaystyle{\left ( f(a + 2h)- f(\alpha +h) \right ) - \left ( f(a + h)- f(\alpha ) \right )}$ . H πρώτη θα δώσει $\displaystyle{ f'(\xi _1) h - f'(\xi _1)h}$ με $\displaystyle{ \alpha +2h > \xi _1 > \alpha +h > \xi _ 2 > \alpha }$ , και λοιπά (απλό).

Η β) είναι δευτεροβάθμια ως προς

(με μηδέν τον συντελεστή του

) και δεν παρουσιάζει δυσκολία.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 07, 2018 11:48 pm
Proclus έγραψε: Παρ Δεκ 07, 2018 10:32 pm Αν εχουμε συνάρτηση $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ οπου η f ειναι 2 φορές παραγωγίσιμη στο διαστημα [α , α+2h] με h>0 και $\displaystyle{\displaystyle a \in R,h \in R}$ , τότε:

α) Να αποδειχτεί ότι υπάρχει $\displaystyle{\displaystyle \theta \in (0,1)}$ έτσι ωστε να ισχύει:
$\displaystyle{\displaystyle f(\alpha ) - 2f(\alpha + h) + f(a + 2h) = {h^2} \cdot f''(\alpha + 2 \cdot \theta \cdot h)}$

H αληθινή αξία της α) είναι ότι, υπό απαλές προϋποθέσεις, τo κλάσμα $\displaystyle{\frac { f(\alpha ) - 2f(\alpha + h) + f(a + 2h)}{h^2}}$ είναι $\approx f''(a)$ . Πράγμα απρόσμενο. Για παράδειγμα αν η ήταν συνεχής στο , το κλάσμα που έγραψα τείνει στο καθώς $h\to 0$ (κάνουμε δύο φορές l' Hospital)

... μετά τον πρώτο L' Hospital ας γράψουμε

$\dfrac{f'(a+2h)-f'(a+h)}{h}=2\dfrac{f'(a+2h)-f'(a)}{2h}-\dfrac{f'(a+h)-f'(a)}{h}$

"Άσχημη" άσκηση.

"Άσχημη" άσκηση.

Re: "Άσχημη" άσκηση.

Re: "Άσχημη" άσκηση.

Μέλη σε σύνδεση