Ν- οστή ρίζα απείρου

NICK1984 · #1

Καλησπέρα!Θα ήθελα να κάνω την εξής ερώτηση.

Έχει νόημα το $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^2+2x}=\sqrt[3]{\lim_{x\to+\infty}(x^2+2x)}=\sqrt[3]{+\infty}=+\infty$ ;

#2

NICK1984 έγραψε: Παρ Νοέμ 09, 2018 8:56 pm Έχει νόημα ...

Όχι.

Απλά δίνει την σωστή απάντηση αλλά για λάθος συλλογισμό.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Αντιγράφω από το σχολικό βιβλίο σελ 48.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων

και

στο $x_{0}$ τότε:
1.

6. $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt[k]{f(x)}=\sqrt[k]{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)}$

εφόσον $f(x)\geq 0$ κοντά στο $x_{0}$ .

Να σημειώσω ότι σε αυτή την παράγραφο δεν έχουν εισαχθεί όρια που περιλαμβάνουν το $\infty$ .

Αντε να βγάλεις άκρη.

#4

Δεν είναι (μαθηματικά) λανθασμένο το

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{x^2+2x}=\sqrt[3]{\lim_{x\to+\infty}(x^2+2x)}=+\infty$

και, νομίζω ότι δεν υπάρχει πρόβλημα στο να το χρησιμοποιήσει ένας μαθητής λυκείου.

Όμως ο συμβολισμός $\sqrt[3]{+\infty}$ είναι (μαθηματικά) αδόκιμος. (όπως π.χ. δεν γράφουμε $\frac{1}{0}$ ή $\frac{1}{\infty}$ . )

NICK1984 · #5

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις!

Proclus · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 10:13 am Αντιγράφω από το σχολικό βιβλίο σελ 48.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και στο $x_{0}$ τότε:
1.

6. $\lim_{x\rightarrow x_{0}}\sqrt[k]{f(x)}=\sqrt[k]{\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)}$

εφόσον $f(x)\geq 0$ κοντά στο $x_{0}$ .

Να σημειώσω ότι σε αυτή την παράγραφο δεν έχουν εισαχθεί όρια που περιλαμβάνουν το $\infty$ .

Αντε να βγάλεις άκρη.

Σελίδα 66 του σχολικού:
Για τα όρια στο $+\infty$ , $-\infty$ ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο x0 με την προϋπόθεση ότι:
— οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και
— δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή

Οπότε σαφώς και το σχολικό βιβλίο καλύπτει(με κάκιστο τρόπο βέβαια) την παραπάνω περίπτωση οπου απλώς θεωρουμε συναρτηση με x>60 πχ.

revan085 · #7

Εφαρμόζοντας τη θεωρία του σχολικού βιβλίου γράφουμε:
Είναι $\lim_{x\rightarrow + \infty }({x^2+2x})=\lim_{x\rightarrow + \infty }{x^2}=+\infty$
Επομένως $\lim_{x\rightarrow + \infty }\sqrt[3]{x^2+2x}=+\infty$

Ή να θέσουμε u=x^2+2x

οπότε $\lim_{x\rightarrow + \infty }\sqrt[3]{x^2+2x}= \lim_{u\rightarrow + \infty }\sqrt[3]{u}=+\infty$

Σε κάθε περίπτωση καθίσταται σαφές ότι το όριο ορίζεται (έχει νόημα) και μάλιστα απειρίζεται θετικά.

Για να γράψουμε $\lim_{x\rightarrow + \infty }\sqrt[3]{x^2+2x}=\sqrt[3]{\lim_{x\rightarrow + \infty }{(x^2+2x)}}=\sqrt[3]{+\infty}=+\infty$ , θα πρέπει να ορίσουμε την γενικευμένη πραγματική ευθεία, να ορίσουμε ότι $+\infty >0$ και $-\infty <0$ και στη συνέχεια να επεκτείνουμε την νιοστή ρίζα στη γενικευμένη πραγματική ευθεία ώστε να παίρνει και απειριζόμενες τιμές. Έτσι η πράξη $\sqrt[3]{+\infty}$ καθίσταται επιτρεπτή μιας και είναι καλά ορισμένη στη γενικευμένη πραγματική ευθεία, πράγμα που επιτρέπει να γενικευθεί ο ορισμός της συνέχειας της $\sqrt[3]{x}$ και στο άπειρο. Έτσι η πρώτη ισότητα είναι εφαρμογή της συνέχειας της $\sqrt[3]{x}$ στη γενικευμένη πραγματική ευθεία. Το σχολικό βιβλίο όμως δεν αναφέρει την γενικευμένη πραγματική ευθεία, συνεπώς η ιδιότητα $\lim_{x\rightarrow x_{o}}f(g(x))=f(\lim_{x\rightarrow x_{o}}g(x))$ η οποία βασίζεται στην συνέχεια της f στο σημείο $\lim_{x\rightarrow x_{o}}g(x)$ , προϋποθέτει ότι $\lim_{x\rightarrow x_{o}}g(x)\in \mathbb{R}$ , ενώ $\pm \infty \notin \mathbb{R}$ . Ακόμη και η παραπάνω ιδιότητα όμως, δεν αναφέρεται πουθενά στη θεωρία του σχολικού βιβλίου, αν και αποδεικνύεται με την αντικατάσταση u=g(x)

. Ακόμη και αν αποδειχθεί όμως, πάλι δεν μπορεί να εφαρμοστεί για απειριζόμενες τιμές του ορίου της g με βάση το σχολικό βιβλίο.

Επομένως αν πάρουμε ως βάση μόνο την θεωρία που αναφέρει το σχολικό βιβλίο, οφείλουμε να θεωρήσουμε τις παραπάνω ισότητες ως Λανθασμένες. Και τούτο γιατί ενώ επιλύεται το ζητούμενο όριο με απλή εφαρμογή της σχολικής θεωρίας, βλέποντας απαντήσεις σαν την παραπάνω, ο βαθμολογητής είναι υποχρεωμένος να θεωρήσει ότι ο εξεταζόμενος δεν έχει μάθει να εφαρμόζει την θεωρία που είχε στην εξεταστέα ύλη του!!! Οι παραπάνω ισότητες αποτελούν παθογένεια και ημιμάθεια για την Γ Λυκείου.

Η παθογένεια αυτή, οφείλεται:

1) Στην έλλειψη της μαθηματικής ωριμότητας που έχει ένας μέσος μαθητής που προάχθηκε από την Β' στην Γ' Λυκείου, σε συνδυασμό με την λογική της βαθμοθηρίας που του καλλιεργείται στην τελευταία τάξη του Λυκείου.

2) Αυτό τον οδηγεί στην αναζήτηση και επιδίωξη των εύκολων λύσεων, πράγμα που τον προδιαθέτει να απογοητεύεται ή και να αδιαφορεί όταν κάποιες λύσεις δεν είναι της αρεσκείας του. Θέλει να δει όλες τις διαδικασίες τυποποιημένες και να μην "χάνει χρόνο" με την θεωρία. Τα παραπάνω στοιχεία, εντοπίζονται στην πλειοψηφία των μέτριων μαθητών που θέλουν να γράψουν στις Πανελλήνιες.

3) Τα παραπάνω όμως οδηγούν στο να υποχρεώνονται εκπαιδευτικοί που εργάζονται σε φροντιστήρια μέσης εκπαίδευσης, να ξεσηκώνουν πατέντες σαν την παραπάνω που δεν αναφέρεται καν στο σχολικό βιβλίο και να μην δίνουν την έμφαση που απαιτείται στην θεωρία της διδακτέας - εξεταστέας ύλης που ορίζει το υπουργείο παιδείας, ώστε οι μαθητές να μην βαριούνται και να μπουν στον κόπο να διαβάσουν ώστε να πετύχουν μία αισθητή βελτίωση που θα βελτιώσει τους βαθμούς τους, πράγμα που θα επιτρέψει και στους συναδέλφους να κρατήσουν τη δουλειά τους.

Διαστρεβλώνοντας την πρόταση: "κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή" όπως μας βολεύει, σαφώς και μπορούμε να θεωρήσουμε τις παραπάνω ισότητες ως σωστές. Κανονικά στην θέση της, θα έπρεπε να μπει η πρόταση: "απαντήσεις χωρίς σαφή αιτιολόγηση δεν λαμβάνονται υπόψη"

kkala · #8

revan085 έγραψε: Δευ Δεκ 10, 2018 10:12 pm....ενώ επιλύεται το ζητούμενο όριο με απλή εφαρμογή της σχολικής θεωρίας, βλέποντας απαντήσεις σαν την παραπάνω, ο βαθμολογητής είναι υποχρεωμένος να θεωρήσει ότι ο εξεταζόμενος δεν έχει μάθει να εφαρμόζει την θεωρία που είχε στην εξεταστέα ύλη του!!! Οι παραπάνω ισότητες αποτελούν παθογένεια και ημιμάθεια για την Γ Λυκείου. Η παθογένεια αυτή, οφείλεται:
1) Στην έλλειψη της μαθηματικής ωριμότητας που έχει ένας μέσος μαθητής που προάχθηκε από την Β' στην Γ' Λυκείου, σε συνδυασμό με την λογική της βαθμοθηρίας που του καλλιεργείται στην τελευταία τάξη του Λυκείου.
2) Αυτό τον οδηγεί στην αναζήτηση και επιδίωξη των εύκολων λύσεων, πράγμα που τον προδιαθέτει να απογοητεύεται ή και να αδιαφορεί όταν κάποιες λύσεις δεν είναι της αρεσκείας του. Θέλει να δει όλες τις διαδικασίες τυποποιημένες και να μην "χάνει χρόνο" με την θεωρία. Τα παραπάνω στοιχεία, εντοπίζονται στην πλειοψηφία των μέτριων μαθητών που θέλουν να γράψουν στις Πανελλήνιες.
3) Τα παραπάνω όμως οδηγούν στο να υποχρεώνονται εκπαιδευτικοί που εργάζονται σε φροντιστήρια μέσης εκπαίδευσης, να ξεσηκώνουν πατέντες σαν την παραπάνω που δεν αναφέρονται καν στο σχολικό βιβλίο και να μην δίνουν την έμφαση που απαιτείται στην θεωρία της διδακτέας - εξεταστέας ύλης που ορίζει το υπουργείο παιδείας, ώστε οι μαθητές να μην βαριούνται και να μπουν στον κόπο να διαβάσουν ώστε να πετύχουν μία αισθητή βελτίωση που θα βελτιώσει τους βαθμούς τους, πράγμα που θα επιτρέψει και στους συναδέλφους να κρατήσουν τη δουλειά τους.

α. Τα έντονα γράμματα είναι απο εμένα και αντικατοπτρίζουν μαθητική νοοτροπία μάλλον γενικευμένη, όπως την είχα καταλάβει την περίοδο 2000 - 2004, όταν οι γιοί μου αποφοίτησαν από το Λύκειο. Τις περισσότερες φορές τούτο έχει σαν αποτέλεσμα να καταβάλει ο μαθητής πολύ περισσότερο κόπο για να εμπεδώσει κάποιο συγκεκριμένο θέμα, διότι χρειάζεται να το επαναλάβει περισσότερες φορές ανατρέχοντας στα βασικά μέχρι να τα "χωνέψει". Δηλαδή τυποποιημένες αχώνευτες διαδικασίες, για να μή χάνεται χρόνος, συνήθως καταλήγουν σε μεγαλύτερη απώλεια χρόνου και κίνδυνο να μείνουν ακατανόητα βασικά θέματα.
β. Προκαλεί επίσης εντύπωση (τουλάχιστον σε κάποιον που δεν έχει πείρα διδασκαλιας) αυτό που συμπεραίνεται από την παραπάνω υπογραμμισμένη φράση (από εμέ), δηλαδή ότι δεν επιτρέπεται η χρήση ύλης εκτός της εξεταστέας, προφανώς για τις εισητήριες εξετάσεις ή και για τις σχολικές. Τούτο είναι κατανοητό έως ένα σημείο, π.χ. δεν θα ήταν λογικό να επικαλείται κάποιος το θεώρημα του Simpson για να αποδείξει ότι "αν από σημείο της περιγεγραμμένης σε τρίγωνο περιφερείας αχθούν κάθετοι στις πλευρές του,τα ίχνη (πόδες) τους κείνται σε ευθεία". Αλλά αυστηρά "νομοθετικός" περιορισμός στα πλαίσια της εξεταστέας ύλης ίσως διευκολύνει τον εξεταστή, όχι όμως την πρωτοβουλία του μαθητή και την ελευθερία σκέψης του. Δεν ξέρω αν το θέμα τούτο είναι τελείως ξεκάθαρο στην Ελλάδα, πάντως το 1965 καθηγητής μας στη γεωμετρία είχε αναφέρει θεώρημα εκτός σχολικής ύλης (δεν θυμάμαι ποιό) που χρησιμοποιήθηκε επιτυχώς από μαθητή σε άσκηση εξετάσεων.

revan085 · #9

kkala έγραψε: Τρί Δεκ 11, 2018 9:44 pm α. Τα έντονα γράμματα είναι απο εμένα και αντικατοπτρίζουν μαθητική νοοτροπία μάλλον γενικευμένη, όπως την είχα καταλάβει την περίοδο 2000 - 2004, όταν οι γιοί μου αποφοίτησαν από το Λύκειο. Τις περισσότερες φορές τούτο έχει σαν αποτέλεσμα να καταβάλει ο μαθητής πολύ περισσότερο κόπο για να εμπεδώσει κάποιο συγκεκριμένο θέμα, διότι χρειάζεται να το επαναλάβει περισσότερες φορές ανατρέχοντας στα βασικά μέχρι να τα "χωνέψει". Δηλαδή τυποποιημένες αχώνευτες διαδικασίες, για να μή χάνεται χρόνος, συνήθως καταλήγουν σε μεγαλύτερη απώλεια χρόνου και κίνδυνο να μείνουν ακατανόητα βασικά θέματα.
β. Προκαλεί επίσης εντύπωση (τουλάχιστον σε κάποιον που δεν έχει πείρα διδασκαλιας) αυτό που συμπεραίνεται από την παραπάνω υπογραμμισμένη φράση (από εμέ), δηλαδή ότι δεν επιτρέπεται η χρήση ύλης εκτός της εξεταστέας, προφανώς για τις εισητήριες εξετάσεις ή και για τις σχολικές. Τούτο είναι κατανοητό έως ένα σημείο, π.χ. δεν θα ήταν λογικό να επικαλείται κάποιος το θεώρημα του Simpson για να αποδείξει ότι "αν από σημείο της περιγεγραμμένης σε τρίγωνο περιφερείας αχθούν κάθετοι στις πλευρές του,τα ίχνη (πόδες) τους κείνται σε ευθεία". Αλλά αυστηρά "νομοθετικός" περιορισμός στα πλαίσια της εξεταστέας ύλης ίσως διευκολύνει τον εξεταστή, όχι όμως την πρωτοβουλία του μαθητή και την ελευθερία σκέψης του. Δεν ξέρω αν το θέμα τούτο είναι τελείως ξεκάθαρο στην Ελλάδα, πάντως το 1965 καθηγητής μας στη γεωμετρία είχε αναφέρει θεώρημα εκτός σχολικής ύλης (δεν θυμάμαι ποιό) που χρησιμοποιήθηκε επιτυχώς από μαθητή σε άσκηση εξετάσεων.

Άμα το εκτός ύλης θεώρημα χρησιμοποιήθηκε επιτυχώς, τότε υποθέτω ότι ο (τότε) μαθητής μπήκε στον κόπο να το εφαρμόσει με κάποια διατύπωση ή αναφορά του. Δεν νομίζω να το βαθμολογούσαν επιτυχώς αν το χρησιμοποιούσε "έτσι ξερά". Εξαρτάται όμως και από το τί πρόβλημα είχε να λύσει και τι ακριβώς χρησιμοποίησε και σε ποιο βήμα το έπραξε.

Να ξεκαθαρίσω ότι το παραπάνω σχόλιό μου, αφορά το αρχικό ερώτημα του κατά πόσον επιτρέπεται να χρησιμοποιούνται αυτές οι ιδιότητες στην Γ Λυκείου. Κατά τη γνώμη μου οι πράξεις στην γενικευμένη ευθεία θα πρέπει να αναφέρονται στο μάθημα ώστε να μπορέσει να "πιάσει" πιο εύκολα το νόημα ο μαθητής, όχι όμως για να το γράψει έτσι στις τελικές εξετάσεις. Το ζητούμενο είναι σε αυτό το ένα όριο που θα (αν) ζητηθεί στις τελικές εξετάσεις, ύστερα από έναν ολόκληρο χρόνο προετοιμασίας, να εφαρμοστεί η διδαχθείσα θεωρία. Δεν είναι και ακριβώς δίκαιο δύο μαθητές να βαθμολογηθούν το ίδιο στην επίλυση ενός τέτοιου ορίου, αν ο ένας μπήκε στην "άχαρη" διαδικασία να εφαρμόσει αυτά που λέει η ύλη του, ενώ ο άλλος "έκοψε δρόμο" χρησιμοποιώντας αδίδακτη ύλη.

Από την άλλη όμως, επειδή ακριβώς η σχολική ύλη ναι, στενεύει τα συγκεκριμένα περιθώρια ευελιξίας, δεν μπορούμε να ζητάμε να λυθούν για παράδειγμα 10 όρια παρόμοιας μορφής και να απαιτούμε να λυθούν όλα "by the book" (μαζί με τα υπόλοιπα θέματα μέσα στο τρίωρο της εξέτασης). Σε ένα τέτοιο ενδεχόμενο, αν έστω και σε ένα όριο έχει εφαρμοστεί η σχολική θεωρία, και τα υπόλοιπα έχουν λυθεί με πράξεις στην γενικευμένη ευθεία, εκεί ναι, γίνεται κατανοητό ότι ο μαθητής γνωρίζει να εφαρμόζει τη θεωρία και επιλέγει να λύσει τα υπόλοιπα όρια κόβοντας δρόμο για να μην χάσει χρόνο. Να λοιπόν ένας ακόμη σοβαρός λόγος που έχουν ευθύνη και οι θεματοδότες για την κατανομή των θεμάτων. Νομίζω ότι είναι σαφές αυτό που λέω.

Θα επιμείνω όμως με το παραπάνω όριο, με έναν ακόμη προβληματισμό. Αν δεν μπει ένας μαθητής στην διαδικασία να τεκμηριώνει τους μαθηματικούς του ισχυρισμούς, τελικά αξίζει έναν καλό βαθμό; Διότι κακά τα ψέματα, ακόμη και ένας απαίδευτος μαθητής έχει την δυνατότητα να κατανοήσει τις πράξεις στην γενικευμένη ευθεία, ώστε να λύνει έτσι τέτοια όρια (κι άντε μετά να ξέρεις αν κατανόησε την σπουδαιότητα της σύνθεσης δύο συναρτήσεων).
Για τον ίδιο λόγο θα δούμε τον ίδιο απαίδευτο μαθητή παρακάτω, σε ένα εύκολο πρόβλημα μονοτονίας και ακροτάτων που θα χρειαστεί να βρει το πρόσημο της f΄ να μην λύνει τις αντίστοιχες ανισώσεις, αλλά να αποφεύγει την επίλυσή τους εκλέγοντας κατάλληλες τιμές, χρησιμοποιώντας πρακτικά το Θεώρημα του Darboux που είναι εκτός ύλης (κι άντε μετά να ξέρεις αν ο συγκεκριμένος μαθητής είναι διαβασμένος και επιλέγει να κάνει τη ζωή του εύκολη ή αν δεν γνωρίζει να λύνει ούτε ανισώσεις). Ξεφεύγουν άσχημα τα πράγματα αν αφήσουμε τα "λουριά" χαλαρά.

Ένας βαθμολογητής βλέποντας τα παραπάνω στοιχεία σε ένα τέτοιο γραπτό δεν μπορεί να αποφανθεί, αν είναι γραπτό ενός μαθητή που είναι διαβασμένος και επιλέγει να κάνει την ζωή του εύκολη ή αν είναι γραπτό ενός μαθητή που πασάλειψε πέντε πράγματα και τα έγραψε "στο πόδι". Άρα είναι υποχρεωμένος να συμπεράνει το δεύτερο. Και αυτό γιατί ο διαβασμένος μαθητής, που προετοιμάστηκε σωστά όλη τη χρονιά, έχει καλλιεργήσει και την δυνατότητα να ξέρει τί πρέπει να γράψει και το πώς πρέπει να τα γράψει.

kkala · #10

Νομίζω ότι η δημοσίευση Νο 9 (του revan085) εξετάζει το θέμα της χρήσης μη "εγκεκριμένης" ύλης στις εξετάσεις μαθηματικών σωστά και σε μεγαλύτερο βάθος (σε σύγκριση με την δική μου δημοσίευση Νο 8). Φαίνεται ότι οι (εισαγωγικές) εξετάσεις σήμερα έχουν γίνει πιό τυποποιημένες, με αυστηρότερες απαιτήσεις για χρήση "εγκεκριμένης" ύλης χωρίς ουσιαστικές παρεκλήσεις. Δεν το ένοιωθα αυτό στις εξετάσεις του 1967, αν και είχε γίνει ερώτηση σε καθηγητή μας της Γεωμετρίας (βλ δημοσίευση 8 και Σημ 1)
Εκείνη την εποχή η εξεταστέα (για τις εισαγωγικές) ύλη δεν ήταν τόσο σαφώς καθορισμένη, παρόλο που αυτή είχε κυκλοφορήσει εγγράφως από (υποθέτω*) το 1964. Μερικά θέματα ήσαν στα όρια (σύνορα) της εξεταστέας ύλης, γι αυτό ήμασταν καλύτερα προετοιμασμένοι αν είχαμε μια ιδέα για κάποια "εκτός ύλης" θέματα. Π.χ. ο Ι. Μαντάς μας είχε εξηγήσει τον εψιλοντικό ορισμό του ορίου στο φροντιστήριο (τα όρια ήταν τότε εξω από την εξεταστέα ύλη* των εισαγωγικών, αν και εδιδάσκοντο στο Λύκειο).
Σαν πλεονέκτημα των παραπάνω είχαμε μια σφαιρικότερη ιδέα των Μαθηματικών με λιγότερα κενά. Προσπαθούσαμε επίσης να διαβάσουμε όλη την ύλη του βιβλίου, όχι μόνο την "εξεταστέα" για τις εισαγωγικές. Σαν μαθητές βέβαια θα προτιμούσαμε να ήταν η εξεταστέα ύλη των εισαγωγικών απόλυτα σαφής. Ίσως το καλύτερο θα ήταν να εξεταζόμασταν σε όλη την ύλη του σχολικού προγράμματος ή βιβλίου, για να είχε αποφευχθεί η υποβάθμιση της μη εξεταστέας (για τις εισαγωγικές) ύλης που διδασκόταν στα Λύκεια.
Σε προγενέστερες εποχές πάντως η εξεταστέα ύλη των εισαγωγικών πρέπει να ήταν πολύ πιο ασαφής. Θυμάμαι τα λόγια του πατέρα μου, που έδωσε εξετάσεις τριγωνομετρίας (σαν επιλαχών) στη σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ γύρω στο 1943. Του έτυχαν "τριγωνομετρικές σειρές" και απέτυχε (μπήκε μετά στο μικρό Πολυτεχνείο).

Σημ1: Προσπαθώντας να θυμηθώ το θεώρημα που χρησιμοποίησε ο μαθητής (πιθανότατα πριν το 1964, αναφορά από καθηγητή Γεωμετρίας το 1965, βλ. δημοσίευση Νο 8) για λύση Γεωμετρικού προβλήματος: μάλλον αφορούσε θεώρημα Μαθηματικού (όχι Πάππου- Guldin) για στερεά εκ περιστροφής .
Σημ2: Κάποια παραδείγματα θεμάτων της εποχής, που κρίνονται στα όρια της "εγκεκριμένης" για τις εξετάσεις ύλης (αν και δεν διαπίστωσα διαμαρτυρία από Αρ. Πάλλα). Λύσεις τους μπορεί να βρεθούν στο ετήσιο Δελτίο θεμάτων Αρ. Πάλλα για το έτος αναφοράς:
2.1 Άσκηση 2α Γεωμετρίας, κατεύθυνση Β του 1966. Αφορούσε ακολουθία κανονικών Πενταγώνων και εγγεγραμμένων σε αυτά κύκλων. Είχε μεγάλη αποτυχία, όπως πληροφορηθήκαμε από εξεταζόμενους. Για να επιλυθεί ήταν πολύ χρήσιμη (όχι όμως εντελώς απαραίτητη) η εξοικείωση με την έννοια του ορίου που δεν υπήρχε στην εξεταστέα ύλη*. Απείχε πολύ από το πνεύμα της Ευκλείδιας Γεωμετρίας των σχολείων.
2.2 Ζήτημα 3ο Γεωμετρίας, κατεύθυνση Β του 1965. Αφορούσε ελαχιστοποίηση τμήματος τριγώνου που αποκόπηκε με τέμνουσα. Δόκιμες ήσαν και αλγεβρικές λύσεις, βασισμένες στη διακρίνουσα τριωνύμου (που οφείλει να είναι θετική ή 0). Νομίζω ότι τέτοιες λύσεις πρέπει να ήσαν αποδεκτές.
*. Θεωρώ ότι η εξεταστέα ύλη των εισαγωγικών ήταν βασικά ίδια με αυτή του 1967, τότε που έδωσα και εγώ εξετάσεις. Ο Αρ. Πάλλας (δελτίο 1965) ζητούσε έγκαιρη πληροφόρηση της εξεταστέας ύλης κάθε χρόνο, πολύ απίθανο όμως οι αλλαγές να ήσαν σημαντικές.
Σημ 3. Έχω την αίσθηση ότι (τουλάχιστον) οι μαθητές δεν θα βασάνιζαν το βασικό ερώτημα αυτού του θέματος και θα απαντούσαν ότι το όριο (της συνάρτησης με το υπόρριζο) είναι + $\infty$ . Τουλάχιστον το 1967 η μαθηματική θεμελίωση μας δεν επαρκούσε για μια επιστημονική αιτιολόγηση, είχε πολύ σοβαρότερες ελλείψεις.

Ν- οστή ρίζα απείρου

Ν- οστή ρίζα απείρου

Re: Ν- οστή ρίζα απείρου

Re: Ν- οστή ρίζα απείρου

Re: Ν- οστή ρίζα απείρου

Re: Ν- οστή ρίζα απείρου

Re: Ν- οστή ρίζα απείρου

Re: Ν- οστή ρίζα απείρου

Re: Ν- οστή ρίζα απείρου

Re: Ν- οστή ρίζα απείρου

Re: Ν- οστή ρίζα απείρου

Μέλη σε σύνδεση