Βρες το λάθος

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Την παρακάτω λύση την είχα βρει σε γνωστό βοήθημα το 1999.

Να προσδιοριστεί ο $\mu \in R$ ώστε η συνάρτηση $f(x) = x^3 + x^2 + \mu x$ να είναι γνησίως αύξουσα στο

. (χωρίς παραγώγους)

ΛΥΣΗ
Γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα $\Delta$ αν και μόνο αν $\lambda =\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}>0$ για κάθε $x_1,x_2\in \Delta , x_1 \neq x_2.$

Στην περίπτωσή μας έχουμε:

$\lambda =$ ...(πράξεις)... $=x_{1}^{2}+x_1x_2+x_{2}^{2}+x_1+x_2+\mu .$ (μην ψάχνεις εδώ το λάθος

)

Άρα

γνησίως αύξουσα στο

$\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_1x_2+x_{2}^{2}+x_1+x_2+\mu>0$

To παραπάνω τριώνυμο (ως προς x_1

) είναι γνήσια θετικό αν και μόνο αν $\Delta <0 \Leftrightarrow 3x_{2}^{2}+2x_2+(4\mu -1)>0.$

To παραπάνω τριώνυμο (ως προς x_2

) είναι γνήσια θετικό αν και μόνο αν ${\Delta}'<0\Leftrightarrow 4-12(4\mu -1)<0\Leftrightarrow \mu >\frac{1}{3}.$

Τελική απάντηση $\mu >\frac{1}{3}.$

Παρατηρούμε όμως ότι και για $\mu=\frac{1}{3}$ η f είναι γνησίως αύξουσα

#2

Καλησπέρα Λάμπρο. Στην ουσία έτσι όπως το εξετάζει χάνει την περίπτωση της ισότητας.

Ειδικότερα την πατάει εδώ:

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Πέμ Δεκ 27, 2018 11:26 pm Την παρακάτω λύση την είχα βρει σε γνωστό βοήθημα το 1999.

Να προσδιοριστεί ο $\mu \in R$ ώστε η συνάρτηση $f(x) = x^3 + x^2 + \mu x$ να είναι γνησίως αύξουσα στο . (χωρίς παραγώγους)

ΛΥΣΗ

To παραπάνω τριώνυμο (ως προς ) είναι γνήσια θετικό αν και μόνο αν $\Delta <0 \Leftrightarrow 3x_{2}^{2}+2x_2+(4\mu -1)>0.$

To παραπάνω τριώνυμο (ως προς ) είναι γνήσια θετικό αν και μόνο αν ${\Delta}'<0\Leftrightarrow 4-12(4\mu -1)<0\Leftrightarrow \mu >\frac{1}{3}.$

Βρες το λάθος

Βρες το λάθος

Re: Βρες το λάθος

Μέλη σε σύνδεση