Σωστό-λάθος

ann79 · #1

Καλημέρα και χρόνια πολλά.

Υπάρχουν συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ με την

να μην είναι 1-1

αλλά η σύνθεση της

με την

να είναι

. Σωστό ή λάθος;

#2

ann79 έγραψε: Παρ Δεκ 28, 2018 11:57 am Καλημέρα και χρόνια πολλά.

Υπάρχουν συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ με την να μην είναι αλλά η σύνθεση της με την να είναι . Σωστό ή λάθος;

Ναι, υπάρχουν. Άπειρες οι επιλογές αλλά βάζω μία με πολύ γνώριμες στους μαθητές, συναρτήσεις:

g(x)=x^2

και

. Τότε η σύνθεση $g(f(x))= e^{2x}$ , που είναι 1-1.

sov_arvyd · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 28, 2018 12:23 pm
ann79 έγραψε: Παρ Δεκ 28, 2018 11:57 am Καλημέρα και χρόνια πολλά.

Υπάρχουν συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ με την να μην είναι αλλά η σύνθεση της με την να είναι . Σωστό ή λάθος;
Ναι, υπάρχουν. Άπειρες οι επιλογές αλλά βάζω μία με πολύ γνώριμες στους μαθητές, συναρτήσεις:

και . Τότε η σύνθεση $g(f(x))= e^{2x}$ , που είναι 1-1.

Προσοχή! Όταν το σχολικό βιβλίο μιλά για τη σύνθεση της

με την

αναφέρεται στην $f\circ g$ .

#4

sov_arvyd έγραψε: Σάβ Δεκ 29, 2018 2:46 am
Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 28, 2018 12:23 pm
ann79 έγραψε: Παρ Δεκ 28, 2018 11:57 am Υπάρχουν συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ με την να μην είναι αλλά η σύνθεση της με την να είναι . Σωστό ή λάθος;
Ναι, υπάρχουν. Άπειρες οι επιλογές αλλά βάζω μία με πολύ γνώριμες στους μαθητές, συναρτήσεις:

και . Τότε η σύνθεση $g(f(x))= e^{2x}$ , που είναι 1-1.
Προσοχή! Όταν το σχολικό βιβλίο μιλά για τη σύνθεση της με την αναφέρεται στην $f\circ g$ .

Με αυτή την εκδοχή, η απάντηση είναι αρνητική για τετριμμένους λόγους. Συγκεκριμένα, αφού υπάρχουν $a\ne b$ με g(a)=g(b)

, για τα ίδια αυτά a,b

είναι

. Άρα η $f\circ g$ δεν είναι 1-1.

Μου κάνει εντύπωση ότι ως "σύνθεση της

με την

" βαφτίζεται η $f\circ g$ αφού η τελευταία διαβάζεται "

σύνθεση

".

ann79 · #5

Καλησπέρα και καλή χρονιά σε όλους, σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας.

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #6

Χρόνια πολλά και καλή χρονιά.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Δεκ 29, 2018 9:47 am

Μου κάνει εντύπωση ότι ως "σύνθεση της με την " βαφτίζεται η $f\circ g$ αφού η τελευταία διαβάζεται " σύνθεση ".

Το σχολικό βιβλίο γράφει
“... ονομάζουμε σύνθεση της

με την

, και την συμβολίζουμε με $g\circ f$ ...”
Ομοίως κι ο Παντελίδης γράφει
“ Ονομάζουμε σύνθεση των συναρτήσεων

και

(με αυτή τη σειρά) τη συνάρτηση $g\circ f$ ...”
Αντιθέτως ο Spivak γράφει
“… ορίζουμε μια νέα συνάρτηση $f\circ g$ , τη σύνθεση των

και

, με ...”
Επειδή όμως στα σχολεία χρησιμοποιείται το συγκεκριμένο βιβλίο, χρειάζεται προσοχή γιατί :
Αν ζητηθεί η $f\circ g$ δεν υπάρχει θέμα παρανόησης.
Αν όμως ζητηθεί η σύνθεση της

με την

, σύμφωνα με το σχολικό, πόσοι μαθητές θα έβρισκαν την $g\circ f$ ;
Για τον λόγο αυτό η συνάρτηση π.χ. $h(x)=e^{3x}$ είναι σύνθεση των f(x)=3x

και

και όχι το αντίστροφο.
Πάντα σύμφωνα με το σχολικό.

#7

Νίκο, ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις περί της ονοματολογίας των $f\circl g, \, g\circlf$ εντός ή εκτός σχολικής πρακτικής.

Όπως και να είναι, η απάντησή μου περιλαμβάνει και τις δύο εκδοχές.

Σωστό-λάθος

Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Re: Σωστό-λάθος

Μέλη σε σύνδεση