Απεικόνιση Gauss επιφάνειας

#1

Για την επιφάνεια $S=\big\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\;\big|\; z=\log{x}-\log{y} \big\}$ να βρεθεί η εικόνα της απεικόνισης Gauss. Είναι η απεικόνιση Gauss 1-1;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: Δευ Ιαν 28, 2019 9:26 am Για την επιφάνεια $S=\big\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\;\big|\; z=\log{x}-\log{y} \big\}$ να βρεθεί η εικόνα της απεικόνισης Gauss. Είναι η απεικόνιση Gauss 1-1;

Προφανώς θα πρέπει x,y>0

Η απεικόνηση Gauuss είναι αυτή που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο της επιφάνειας το μοναδιαίο
κάθετο με συνεχή τρόπο.
Προφανώς παίρνει τιμές στη μοναδίαια σφαίρα.
Ενας απλός υπολογισμός δίνει ότι

$N(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}}}(-y,x,xy)$

Θέτουμε
$x_{1}=\frac{-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}}},y_{1}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}}},z_{1}=\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}}}$ (1)

Εχουμε $-1<x_{1}<0,0<y_{1}<1,0<z_{1}<1,x^2_{1}+y^2_{1}+z^2_{1}=1$

Θα δείξουμε ότι το σύνολο

$\left \{ (x_{1},y_{1},z_{1}):-1<x_{1}<0,0<y_{1}<1,0<z_{1}<1,x^2_{1}+y^2_{1}+z^2_{1}=1 \right \}$

είναι η εικόνα.

Σίγουρα η εικόνα είναι μέσα σε αυτό.

Επειδή αν θεωρήσουμε την (1) σαν σύστημα με αγνώστους τα x,y>0

και γνωστά τα

$x_{1},y_{1},z_{1}$ που πληρούν τις συνθήκες του συνόλου βρίσκουμε μοναδική λύση

$x=\frac{z_{1}}{-x_{1}},y=\frac{z_{1}}{y_{1}}$

που δείχνει ότι η εικόνα είναι ακριβώς το παραπάνω σύνολο καθώς και ότι η απεικόνηση είναι 1-1

συμπλήρωμα.Υπήρχε αβλεψία στην σχέση του N(x,y)

.Το διόρθωσα καθώς και τα παρακάτω.Ευχαριστώ τον Γρηγόρη που το παρατήρησε.

#3

Γρηγόρη και Σταύρο, χωρίς να το ψάξω το θέμα σε λεπτομέρειες,

παραθέτω, σύμφωνα με τα ευρήματά σας, και μετά τη διόρθωση του Σταύρου,

το ακόλουθο σχήμα.

Πάντα ένα σχήμα βοηθάει, ή, καλύτερα, επαληθεύει τη φαντασία μας!

: Επιφάνεια και απεικόνιση Gauss αυτής 1.png (84.53 KiB) Προβλήθηκε 2000 φορές

Η επιφάνεια με το πράσινο είναι η δοθείσα

και αυτή με το κίτρινο η απεικόνιση Gauss αυτής.

Παρατηρήστε ότι το σημείο $\displaystyle{(0,0,1)}$ δεν ανήκει στην απεικόνιση.

Κώστας Δόρτσιος

#4

Σταύρο πολύ ωραία λύση! Παραθέτω μια κάπως διαφορετική:

Αρκεί να βρεθεί η εικόνα της επιφάνειας

${\bf{N}}(u,v)=\frac{1}{\sqrt{u^2v^2+u^2+v^2}}\,(-v,u,uv)\,,\quad (u,v)\in(0,+\infty)\times(0,+\infty)$ ,
η οποία είναι τμήμα της μοναδιαίας σφαίρας S^2

. Με την (επιτρεπτή) αλλαγή παραμέτρων $\left\{\begin{array}{l} u=\rho \cos{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} v=\rho \sin{\theta} \end{array}\right\}$ , η επιφάνεια έχει παραμετρική παράσταση

${\bf{\tilde{N}}}(\rho,\theta)=\Big(-\frac{\sin\theta}{\sqrt{\rho^2\cos^2\theta\,\sin^2\theta+1}}\,,\,\frac{\cos\theta}{\sqrt{\rho^2\cos^2\theta\,\sin^2\theta+1}}\,,\,\frac{\rho\,\cos\theta\,\sin\theta}{\sqrt{\rho^2\cos^2\theta\,\sin^2\theta+1}}\Big)\,,(\rho,\theta)\in(0,+\infty)\times\big(0,\frac{\pi}{2}\big)$ .
Θεωρώντας σταθερή την γωνία $\theta=\theta_0$ , η διαφορίσιμη καμπύλη ${\bf{r}}(\rho)={\bf{\tilde{N}}}(\rho,\theta_0)$ είναι τμήμα της τομής της S^2

και του επιπέδου $\big\{(-\sin\theta_0,\cos\theta_0,z)\in\mathbb{R}^3\;|\; z\in\mathbb{R}\big\}$ . Επειδή $\mathop{\lim}\limits_{\rho\to0^{+}}{\bf{\tilde{N}}}(\rho,\theta_0)=(-\sin\theta_0,\cos\theta_0,0)$ , $\mathop{\lim}\limits_{\rho\to+\infty}{\bf{\tilde{N}}}(\rho,\theta_0)=(0,0,1)$ , έπεται ότι η ${\bf{r}}(\rho)$ είναι το τεταρτοκύκλιο μεσημβρινού της S^2

που βρίσκεται στο τμήμα του $\mathbb{R}^3$ με $x<0,\,y>0,\,z>0$ . Το ίδιο συμβαίνει για κάθε τιμή του $\theta\in\big(0,\frac{\pi}{2}\big)$ . Επομένως η εικόνα της απεικόνισης Gauss είναι η τομή της S^2

με το σύνολο $\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\; |\; x<0,\,y>0,\,z>0\}$ .
Οι απεικονίσεις ${\bf{N}}:(0,+\infty)\times(0,+\infty)\longrightarrow S^2$ , ${\bf{X}}:(0,+\infty)\times(0,+\infty)\longrightarrow S$ είναι 1-1 (γιατί;). Επομένως και η απεικόνιση Gauss $N:S\longrightarrow S^2$ είναι 1-1, αφού $N={\bf{X}}^{-1}\circ{\bf{N}}$ .

#5

Γρηγόρη και Σταύρο καλησπέρα!

Αναρτώ κι ένα σχήμα με το αντίστοιχο δυναμικό, όπου κανείς μπορεί να δει την αντιστοιχία

ανάμεσα από τα σημεία της επιφάνειας και τα αντίστοιχα κάθετα και μοναδιαία διανύσματα.

: Επιφάνεια και απεικόνιση Gauss αυτής 2.png (73.64 KiB) Προβλήθηκε 1960 φορές

Απεικόνιση Gauss 1.ggb: (23.75 KiB) Μεταφορτώθηκε 73 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Απεικόνιση Gauss επιφάνειας

Απεικόνιση Gauss επιφάνειας

Re: Απεικόνιση Gauss επιφάνειας

Re: Απεικόνιση Gauss επιφάνειας

Re: Απεικόνιση Gauss επιφάνειας

Re: Απεικόνιση Gauss επιφάνειας

Μέλη σε σύνδεση