Άσκηση Μαυρογιάννη(ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ).

Proclus · #1

Στο pdf ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ, του Μαυρογιάννη, σελίδα 15 του PDF και 13 των σημειώσεων, έχει την εξής άσκηση:

Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Δ, με f(x) > 0 για καθε x στο Δ και f παραγωγισιμη στο $\displaystyle{\displaystyle \alpha \in \Delta }$ με α πραγματικό αριθμό.
Να αποδειχτεί οτι:
$\displaystyle{\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \alpha } \frac{{\ln f(x) - \ln f(\alpha )}}{{x - \alpha }} = \frac{{f'(\alpha )}}{{f(\alpha )}}}$

Κολλάω στο οτι άμα ξεραμε οτι υπάρχει περιοχή γύρω απο το α έτσι ώστε για κάθε x που ανήκει σε αυτην την περιοχή να ισχύει $\displaystyle{\displaystyle f(x) \ne f(\alpha )}$ τοτε θα λύνονταν εύκολα αλλά αυτό είναι κατι το οποιο δεν είναι δυνατό να αποδειχτεί απο τα δεδομένα.
Υπάρχει άραγε άλλος τροπος λύσης ωστε να μην χρειαστεί αυτό?

stranger · #2

Η άσκηση είναι πολύ απλή.
Έστω g(x)=ln(f(x))

για

στο Δ. H

είναι παραγωγίσιμη στο

και η

παραγωγίσιμη στο f(a)

, άρα η

είναι παραγωγίσιμη στο

και

από τον κανόνα της αλυσίδας. Άρα $g'(a)= \frac{f'(a)}{f(a)}$ . Επίσης, είναι εύκολο να δεις ότι το ζητούμενο όριο είναι ίσο με g'(a)

από τον ορισμό της παραγώγου.

Άσκηση Μαυρογιάννη(ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ).

Άσκηση Μαυρογιάννη(ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ).

Re: Άσκηση Μαυρογιάννη(ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ).

Μέλη σε σύνδεση