Ξερίζωμα

#1

Δίδεται η εξίσωση : $28{x^2} - 56x + 25 = 0$

1. Δείξετε ότι έχει δύο ρίζες ${x_1}\,\,,\,\,{x_2}$ πραγματικές και άνισες.

2. Να υπολογίσετε τη παράσταση: $S = \sqrt {x_1^2 + 2{x_2} - 2{x_1}} + \sqrt {x_2^2 + 2{x_1} - 2{x_2}}$

Μέχρι το τέλος του αγώνα : ΠΑΟΚ-Ολυμπιακός, μόνο για μαθητές

KARKAR · #2

Η λύση που ακολουθεί ίσως εκπλήξει τους μαθητές της Α' , γι' αυτό και την γράφω : Η συνάρτηση γράφεται :

f(x)=28x^2-56x+28-3=28(x-1)^2-3

, συνεπώς έχει κατακόρυφο άξονα συμμετρίας

την ευθεία x=1

και άρα οι ρίζες της είναι της μορφής : $x_{1}=1-t$ και $x_{2}=1+t$ . Επειδή :

f(0)=25 , f(1)=-3

, οι ρίζες βρίσκονται στα διαστήματα (0,1)

και

, δηλαδή : 0<t<1

$\bigstar$

Αλλά τότε : $S=\sqrt{(1-t)^2+2(1+t)-2(1-t)}+\sqrt{(1+t)^2+2(1-t)-2(1+t)}$

$=\sqrt{(t+1)^2}+\sqrt{(t+1)^2}=|t+1|+|t-1|=t+1+1-t=2$ , λόγω της $\bigstar$ .

Είναι βέβαιο ότι ο θεματοδότης αναμένει κι άλλες λύσεις και ... ότι ποντάρω στην επιείκειά του

Ηλίας Θ. · #3

1. $\Delta=56^2-4\cdot 28\cdot 25=56(56-2\cdot 25)=56\cdot 6>0$ άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές άνεισες
2. Η εξίσωση γράφεται: $28x^2-56x=-25 \Leftrightarrow 28(x^2-2x)=-25 \Leftrightarrow x^2-2x=-\dfrac{25}{28}$
Άρα $S=\sqrt{2x_2 -\dfrac{25}{28}}+\sqrt{2x_1 -\dfrac{25}{28}}$ με S≥0

.
$S^2=2x_2 -\dfrac{25}{28}+2\sqrt{2x_2 -\dfrac{25}{28}}\cdot \sqrt{2x_1 -\dfrac{25}{28}}+2x_2 -\dfrac{25}{28}$
Με τύπους του Vieta λαμβάνουμε το αποτέλεσμα με αρκετούτσικες πράξεις ( αυτός ο τρόπος )

Edit: μετά είδα ότι τελικά οι πράξεις δεν είναι τόσες πολλές αφού το άθροισμα των ριζών είναι S'=2

και το γινόμενο τους είναι $P'=\dfrac{25}{28}$ . Συνεχίζω λοιπόν από εκεί που είχα μείνει:
$S^2=2S'-\dfrac{50}{28}+2\sqrt{4P'-\dfrac{50}{28}S' +\left( \dfrac{25}{28}\right)^2 }=4-\dfrac{50}{28}+2\dfrac{25}{28}=4$
Δηλαδή S=2

#4

a) Το τριώνυμο $f(x) = 28{x^2} - 56x + 25 = 0$ έχει διακρίνουσα:

$D = {( - 56)^2} - 4 \cdot 28 \cdot 25 = 4 \cdot {28^2} - 4 \cdot 28 \cdot 25 = 4 \cdot 28(28 - 25) = 4 \cdot 28 \cdot 3 > 0$ ,

συνεπώς η εξίσωση έχει δύο ρίζες ${x_1}\,\,,\,\,{x_2}$ πραγματικές και άνισες.

b) Από τους τύπους του Vieta

έχω: $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = 2 \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{{25}}{{28}} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Η δεύτερη μας εξασφαλίζει ότι οι ρίζες είναι ομόσημες και λόγω της πρώτης είναι και θετικές .

Έτσι από την πρώτη έχω: $\left\{ \begin{gathered} {x_1} = 2 - {x_2} > 0 \hfill \\ {x_2} = 2 - {x_1} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 < {x_1} < 2 \hfill \\ 0 < {x_2} < 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Επειδή: $x_1^2 + 2{x_2} - 2{x_1} = x_1^2 + 2(2 - {x_1}) - 2{x_1} = x_1^2 + 4 - 4{x_1} = {\left( {{x_1} - 2} \right)^2}$ θα είναι :

$\sqrt {x_1^2 + 2{x_2} - 2{x_1}} = \sqrt {{{({x_1} - 2)}^2}} = |{x_1} - 2| = 2 - {x_1}$ και όμοια :

$\sqrt {x_2^2 + 2{x_1} - 2{x_2}} = \sqrt {{{({x_2} - 2)}^2}} = |{x_2} - 2| = 2 - {x_2}$ προκύπτει :

$S = 2 - {x_1} + 2 - {x_2} = 4 - ({x_1} + {x_2}) = 4 - 2 = 2$

Ξερίζωμα

Ξερίζωμα

Re: Ξερίζωμα

Re: Ξερίζωμα

Re: Ξερίζωμα

Μέλη σε σύνδεση