Πλήθος ριζών

M.S.Vovos · #1

Για κάθε $n\in \left \{ 1,2,3,\ldots \right \}$ ορίζουμε f(n)

, το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης:

$\displaystyle{\sin x=1+\left ( x-\frac{\pi }{2} \right )\cos x}$
στο ανοιχτό διάστημα $\displaystyle{\left ( \frac{\pi }{2},n\pi +\frac{\pi }{2} \right )}$ . Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(n)=\left\{\begin{matrix} n-1, &n\in \left \{ 2,4,6,\ldots \right \} \\\\ n, & n\in \left \{ 1,3,5,\ldots \right \} \end{matrix}\right.}$ Φιλικά,
Μάριος

Μέχρι 17/02/2019.

M.S.Vovos · #2

Επαναφορά για όλους!

#3

Έστω $x_k = k\pi$ και $I_k = [x_k,x_{k+1}]$ . Θέτουμε επίσης $g(x) = 1 + (x-\tfrac{\pi}{2})\cos{x}-\sin{x}$ . Παρατηρούμε ότι $g'(x) = -(x-\tfrac{\pi}{2})\sin{x}$ άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο I_k

αν

άρτιος και γνησίως αύξουσα στο I_k

αν

περιττός. Άρα σε κάθε διάστημα I_k

η

έχει το πολύ μία λύση. Επίσης, $g(x_k) = 1 + (k\pi - \tfrac{\pi}{2})(-1)^k$ το οποίο είναι θετικό για $k=2,4,6,\ldots$ και αρνητικό για $k=0,1,3,\ldots$ .

Άρα η g(x)

δεν έχει καμία λύση στο I_0

ενώ (λόγω συνέχειας) έχει από ακριβώς μία λύση στα $I_1,I_2,\ldots$ . (Με την λύση να μην είναι στα άκρα.)

Άρα έχουμε ακριβώς n-1

λύσεις από τα διαστήματα $I_1,\ldots,I_{n-1}$ και για το I_n

μας ενδιαφέρει αν η λύση βρίσκεται στο υποδιάστημα $J_n = [x_n,x_n+\pi/2)$ ή όχι. Αν

άρτιος έχουμε $g(x_n+\pi/2)=0$ άρα η λύση δεν βρίσκεται στο J_n

. Αν

περιττός έχουμε g(x_n) < 0

και $g(x_n+\pi/2)=2 > 0$ άρα η λύση βρίσκεται στο J_n

.

Άρα παίρνουμε το ζητούμενο.

Πλήθος ριζών

Πλήθος ριζών

Re: Πλήθος ριζών

Re: Πλήθος ριζών

Μέλη σε σύνδεση