Ολοκλήρωμα με max

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\int_0^1 \int_0^1 e^{\max\left\{ x^2, y^2 \right\}} \, \mathrm{d}(y, x)=e-1}$
Μέχρι 02/03/18.

TakasiMike · #2

Επειδή x

και y

έχουμε ότι $\max({x^2,y^2}) = x^2 \Rightarrow \max({x,y}) = x$ . Συνεπώς μπορούμε να χωρίσουμε το χωρίο [0,1]^2

σε δύο τριγωνικά χωρία τα οποία θα χωρίζονται από την ευθεία y = x. Τότε:

$\displaystyle \int_{[0,1]^2} e^{\max(x^2,y^2)} dx dy = \int_{y<x} e^{\max(x^2,y^2)} dx dy + \int_{y>x} e^{\max(x^2,y^2)} dx dy$

Και λόγω συμμετρίας :

$\displaystyle \int_{[0,1]^2} e^{\max(x^2,y^2)} dx dy =2 \int_{y<x} e^{\max(x^2,y^2)} dx dy$

Όταν $0 <y < x \Rightarrow 0 < y^2 < x^2$ και άρα $\max({x^2,y^2}) = x^2$ . Συνεπώς:

$\displaystyle \int_{[0,1]^2} e^{\max(x^2,y^2)} dx dy = 2 \int_{y<x} e^{x^2} dx dy = 2 \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{x} e^{x^2} dx dy = 2 \big( \int_{0}^{x} dy \big) \big( \int_{0}^{1} e^{x^2} dx \big) = 2 \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx$

Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται θέτωντας x^2 = u

:

$\displaystyle 2 \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx = 2 \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u} du = e-1$

Άρα :

$\displaystyle \int_{[0,1]^2} e^{\max(x^2,y^2)} dx dy = e - 1$

Ολοκλήρωμα με max

Ολοκλήρωμα με max

Re: Ολοκλήρωμα με max

Μέλη σε σύνδεση