ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ-ΝΑΙ

S.E.Louridas · #1

Εστω τρισορθογώνια κυρτή στεραιά γωνία (Οχ,Οψ,Οζ).
Δίνεται σημείο Ρ στο εσωτερικό της (μή ανήκον δηλ. στις έδρες της).
Να αχθεί από το σημείο αυτό επίπεδο τέμνον τους Οχ,Οψ,Οζ, στα σημεία Α,Β,Γ,αντίστοιχα
που να είναι διάφορα του Ο,ώστε ο όγκος του στερεού Ο.ΑΒΓ να είναι ο ελάχιστος.

S.E.Louridas

dement · #2

Αφου το επιπεδο προφανως δε διερχεται απο το

, η εξισωση του μπορει να γραφει ως ax + by + cz = 1

. Επισης, ισχυει παντα η εξισωση ax_0 + by_0 + cz_0 = 1

, οπου

οι συντεταγμενες του

. Το επιπεδο τεμνει τους τρεις αξονες στα σημεια (1/a,0,0), (0, 1/b, 0), (0,0,1/c)

.

Ο ογκος του OABC

, αφου η γωνια στο

ειναι τρισορθογωνια, ειναι αναλογος του γινομενου των μηκων των αντιστοιχων ακμων, δηλαδη του $\displaystyle \frac{1}{abc}$ . Ετσι, πρεπει να μεγιστοποιησουμε το γινομενο abc

.

Απο Α.Μ.-Γ.Μ. εχουμε $1 = ax_0 + by_0 + cz_0 \geq 3 \sqrt[3]{abcx_0 y_0 z_0}$ , οποτε $\displaystyle abc \leq \frac{1}{27 x_0 y_0 z_0}$ . Ο ογκος λοιπον ελαχιστοποιειται αν $\displaystyle a = \frac{1}{3x_0}, b = \frac{1}{3y_0}, c = \frac{1}{3z_0}$ , δηλαδη το επιπεδο τεμνει τους αξονες στις συνιστωσες του 'τριπλασιου' σημειου του

.

Δημητρης Σκουτερης

S.E.Louridas · #3

Φίλε Δημήτρη
Σε ευχαριστω που ασχολήθηκες με το θέμα αυτό.

Απλά ας γενικεύσουμε το θέμα,
ΓΙΑ τυχούσα τρίεδρη (κυρτή) γωνία και όχι γιά τρισορθογώνια.

S.E.Louridas

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ-ΝΑΙ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ-ΝΑΙ

Re: ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ-ΝΑΙ

Re: ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ-ΝΑΙ

Μέλη σε σύνδεση