Μεσοκάθετος

#1

: Μεσοκάθετος.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 1636 φορές

$\bigstar$ Οξυγώνιο τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου

Ο κύκλος $(\omega)$ που διέρχεται από τα σημεία

A, B, O

τέμνει τις AC, BC

στα

αντίστοιχα. Αν η

επανατέμνει τον $(\omega)$ στο

να δείξετε ότι η

είναι μεσοκάθετος του CD.

gschwindi · #2

Θα δείξουμε πως DP = PC

και

.

Για το δεύτερο, είναι $\angle QPO = \angle DQO = \angle BQO = \angle OCQ.$ Άρα DQ = QC .

Για το πρώτο είναι, $\angle DQB = \angle QDC + \angle QCD = 2x = \angle DPB.$

Όμως, είναι $\angle BQP = \angle DQB + \angle DQP = \angle BOD + \angle DOP = \angle BOP$ . Άρα και DP = PB

αφού είναι χορδές ίσων γωνιών.

Τέλος, αφού $\angle DPB = 2 \angle DCQ = 2 \angle DCB$ , το σημείο

θα πρέπει να ανήκει στον κύκλο με κέντρο

και ακτίνα DP = PB

. Άρα

.

Edit: τυπογραφικά.

#3

george visvikis έγραψε: Τρί Μαρ 12, 2019 1:34 pm Μεσοκάθετος.png
$\bigstar$ Οξυγώνιο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο κύκλος $(\omega)$ που διέρχεται από τα σημεία

τέμνει τις στα αντίστοιχα. Αν η επανατέμνει τον $(\omega)$ στο να δείξετε ότι η

είναι μεσοκάθετος του

Από το Θεώρημα του Nagel προκύπτει ότι $COD\bot PQ$ και με $\angle PDO\overset{D,A,P,O\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle PAO\overset{OA=OC=R}{\mathop{=}}\,\angle PCO$ προκύπτει ότι στο ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle PDC$ η

είναι ο φορέας του ύψους που αντιστοιχεί στη «βάση» άρα και μεσοκάθετός της

Στάθης

gschwindi · #4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Τρί Μαρ 12, 2019 9:40 pm
george visvikis έγραψε: Τρί Μαρ 12, 2019 1:34 pm Μεσοκάθετος.png
$\bigstar$ Οξυγώνιο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο κύκλος $(\omega)$ που διέρχεται από τα σημεία

τέμνει τις στα αντίστοιχα. Αν η επανατέμνει τον $(\omega)$ στο να δείξετε ότι η

είναι μεσοκάθετος του
Από το Θεώρημα του Nagel προκύπτει ότι $COD\bot PQ$ και με $\angle PDO\overset{D,A,P,O\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle PAO\overset{OA=OC=R}{\mathop{=}}\,\angle PCO$ προκύπτει ότι στο ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle PDC$ η είναι ο φορέας του ύψους που αντιστοιχεί στη «βάση» άρα και μεσοκάθετός της

Στάθης

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #5

Διέγραψα την δημοσίευση λόγω λάθους ...

thanasis.a · #6

[attachment=0]draw1.png[/attachment]

..καλησπέρα..

έστω $\displaystyle\widehat{ABC}=\omega , \widehat{ACD}=\chi$ . Έχουμε: $\displaystyle\widehat{FBA}=\widehat{FCA}=\chi$ (βαίνουν στο ιδιο τοξο στον πρασινο κυκλο)(1).Ταυτόχρονα έχουμε: $\displaystyle\widehat{ABC}+\widehat{FBA}=90^{o}$ (2)(αφού

διάμετρος του πράσινου κύκλου.)
Όμως APQB

εγγεργαμμένο τετράπλευρο στον πράσινο κύκλο. Αυτο σημαίνει ότι: $\displaystyle\widehat{CPQ}=\widehat{ABC}=\omega$ (3)
Έτσι: $\displaystyle\widehat{PHC}=180^{o}-\omega -\chi \Rightarrow \widehat{PHC}=90^{o}$ (4) (με την βοήθεια των (1),(2),(3))
Στο $\displaystyle\triangle OCA\Rightarrow \widehat{C}=\widehat{A}=\chi$ (5) ( OA=OC

ακτίνες του πράσινου κύκλου.) Όμως $\displaystyle\widehat{PDO}=\widehat{OAP}=\chi$ (6) (βαίνουν στο ιδιο τοξο στον μπλε κύκλο). Από (5), (6) έχουμε: $\displaystyle\triangle PDC$ ισοσκελές με $PH\perp DC$ . Τελειώνοντας λοιπόν έχουμε:

μεσοκάθετος της

.-

#7

Φέρνω το απόστημα

στη χορδή

. Θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} \widehat {{\theta _1}} = \widehat A\,\,\, \hfill \\ \widehat {{\theta _2}} = \widehat A\,\,\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Η πρώτη από σχέση επίκεντρης με αντίστοιχη εγγεγραμμένη και η δεύτερη από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABQP

.

Συνεπώς $\boxed{\widehat {{\theta _1}} = \,\widehat {{\theta _2}}\,\,}$ που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο TQMO

είναι εγγράψιμο και άρα $PQ \bot CD\,\,\,(1)$ .

: μεσοκάθετος_Bisbik.png (36.55 KiB) Προβλήθηκε 1467 φορές

Επειδή $\widehat D = \widehat {{\omega _2}}$ ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο και $\widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _1}}$ ως παρά τη βάση του ισοσκελούς τριγώνου OBC

, θα είναι : $\widehat {{\omega _1}} = \widehat D \Leftrightarrow QD = QC\,\,\,(2)$ .

Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ προκύπτει ότι το $\vartriangle QDC$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

και ύψος

που θα είναι και μεσοκάθετος στο

.

Παρατήρηση : Η καθετότητα που ζητείται προκύπτει και αν φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου (O)

στο σημείο του

Μεσοκάθετος

Μεσοκάθετος

Re: Μεσοκάθετος

Re: Μεσοκάθετος

Re: Μεσοκάθετος

Re: Μεσοκάθετος

Re: Μεσοκάθετος

Re: Μεσοκάθετος

Μέλη σε σύνδεση