Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

1)Εστω

ομαλή επιφάνεια και σημείο της $p_{0}\in S$

Αν για κάθε $p\in S$ είναι

$\left \| p_{0} \right \|\geq \left \| p \right \|$

να δειχθεί ότι

$K(p_{0})\left \| p_{0} \right \|^{2}\geq 1$

2) Να δειχθεί ότι κάθε συμπαγής ομαλή επιφάνεια έχει ελλειπτικά σημεία.

σημείωση.Το $K(p_{0})$ είναι η καμπυλότητα Gauss στο σημείο $p_{0}$
Το $\left \| . \right \|$ είναι η Ευκλείδεια νόρμα.

Μέχρι 15-2-2019

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά για όλους.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

1)Εστω

παραμέτριση της επιφάνειας με $X(q_{0})=p_{0}$

Επειδή $\left \| X(q) \right \|^{2}\leq \left \| X(q_{0}) \right \|^{2}$

η f(q)=X(q).X(q)

παίρνει μέγιστη τιμή στο $q_{0}$

αν λοιπόν q=(u,v)

τότε $f_{u}(q_{0})=f_{v}(q_{0})=0$

δηλαδή $X_{u}(q_{0}).X(q_{0})=0=X_{v}(q_{0}).X(q_{0})$

Συμπεραίνουμε ότι $p_{0}=X(q_{0})=cN(p_{0})$
(το $N(p_{0})$ είναι το μοναδιαίο κάθετο στο $p_{0}$ )

όπου $c\in \mathbb{R},|c|=\left \| p_{0} \right \|$

Θεωρούμε $a:(-\epsilon ,\epsilon )\rightarrow S$

καμπύλη με $a(0)=p_{0}$

Η $g(t)=\left \| a(t) \right \|^{2}$ παίρνει μέγιστη τιμή στο

Αρα $g''(0)\leq 0$

δηλαδή $a'(0)^{2}+a(0).a''(0)\leq 0$

Προκύπτει ότι $a'(0)^{2}+cN(a(0))a''(0)\leq 0$ (1)

Από την σχέση N(a(t)).a'(t)=0

παραγωγίζοντας παίρνουμε N(a(t))'.a'(t)+N(a(t)).a''(t)=0

Θέτοντας

η προηγούμενη δίνει $(dN)_{p_{0}}(a'(0)).a'(0)+N(a(0))a''(0)=0$

Η τελευταία και η (1) δίνουν

$-c(dN)_{p_{0}}(a'(0)).a'(0)\geq a'(0)^{2}$ (2)

Εστω $k_{1},k_{2}$ οι κύριες καμπυλότητες και $w_{1},w_{2}$ οι κύριες διευθύνσεις στο $p_{0}$

Διαλέγοντας την

ώστε $a'(0)=w_{1}$ η (2) δίνει $1\leq ck_{1}$ (3)

ενώ αν $a'(0)=w_{2}$ η (2) δίνει $1\leq ck_{2}$ (4)

πολλαπλασιάζοντας τις (3),(4) έχουμε $c^{2}k_{1}k_{2}\geq 1$

Αφού $K(p_{0})=k_{1}k_{2}$ και $|c|=\left \| p_{0} \right \|$

έχουμε την ζητούμενη.

2) Λόγω συμπάγειας θα υπάρχει σημείο της επιφάνειας που ικανοποιεί το 1)
Τότε όμως θα είναι $K(p_{0})>0$ που δείχνει ότι το $p_{0}$ είναι ελλειπτικό σημείο.

Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

Re: Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

Re: Ελλειπτικό σημείο σε επιφάνεια

Μέλη σε σύνδεση