Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

#1

Στον μετρικό χώρο $(\mathbb{Q},|\cdot|)$ να βρεθεί φθίνουσα (ως προς την σχέση του περιέχεσθαι) ακολουθία $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ μη κενών κλειστών υποσυνόλων του $\mathbb{Q}$ με ${\rm{diam}}(A_n)\xrightarrow{n\to+\infty} 0$ , ώστε $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=\varnothing$ .

Έως 15/3/2019

gavrilos · #2

Καλησπέρα.

Ο μετρικός χώρος $(\mathbb{Q},|\cdot|)$ δεν είναι πλήρης άρα το θεώρημα του Cantor μας εξασφαλίζει την ύπαρξη τέτοιας ακολουθίας.Για να τη βρούμε σκεφτόμαστε την απόδειξη του εν λόγω θεωρήματος.Τη δουλειά θα μας την κάνει μια ακολουθία ρητών που συγκλίνει σε άρρητο (άρα βασική που δε συγκλίνει στο χώρο μας).Έστω λοιπόν $(q_n)_{n\in \mathbb{N}}$ .Μια σκέψη είναι να θεωρήσουμε τα σύνολα $B_n=\{q_n,q_{n+1},\ldots\}$ για $n=1,2,\ldots$ Όμως αυτά μπορεί να μην είναι κλειστά.Τα κάνουμε κλειστά "με το ζόρι" θέτοντας $A_n=\overline{B_n}$ για $n=1,2,\ldots$ Τώρα έχουμε φθίνουσα ακολουθία κλειστών συνόλων οπότε μένει να δείξουμε οτι ${\rm{diam}}(A_n)\to 0$ και $\cap_{n=1}^{\infty} A_n=\emptyset$ .Για το πρώτο,παρατηρούμε ότι ${\rm{diam}}(A_n)={\rm{diam}}(B_n)\to 0$ όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ${\rm{diam}}(A)={\rm{diam}}(\overline{A})$ για κάθε υποσύνολο

μετρικού χώρου και το γεγονός ότι $\lim_{m,n\to \infty} |q_m-q_n|=0$ .Για το δεύτερο ζητούμενο,ας υποθέσουμε ότι υπάρχει $a\in \cap_{n=1}^{\infty}A_n$ (το $a\in \mathbb{Q}$ αυτό θα είναι και μοναδικό αφού ισχύει ότι η τομή θα έχει το πολύ ένα στοιχείο,αλλά αυτό δε μας προσφέρει κάτι όσον αφορά το πρόβλημά μας).Τότε $a\in A_n$ για κάθε $n\in \mathbb{N}$ .Άρα $|q_n-a|\leq {\rm{diam}}(A_n)\to 0\Rightarrow q_n\to a$ άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Νομίζω ότι παίρνοντας

$A_{n}=\mathbb{Q}\cap [\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}]$

είναι εύκολο να δείξουμε ότι πληρούν αυτά που θέλουμε.

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Μαρ 15, 2019 6:45 pm Νομίζω ότι παίρνοντας

$A_{n}=\mathbb{Q}\cap [\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}]$

είναι εύκολο να δείξουμε ότι πληρούν αυτά που θέλουμε.

Πράγματι
${\rm{diam}}(A_n)=\Big|\sqrt{2}+\frac{1}{n}-\big(\sqrt{2}-\frac{1}{n}\big)\Big|=\dfrac{2}{n}\xrightarrow{n\to+\infty} 0$
και

$\begin{aligned} \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n&=\bigcap_{n=1}^{\infty}\Big(\big[\sqrt{2}-\tfrac{1}{n},\sqrt{2}+\tfrac{1}{n}\big]\cap{\mathbb{Q}}\Big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\Big(\bigcap_{n=1}^{\infty}\big[\sqrt{2}-\tfrac{1}{n},\sqrt{2}+\tfrac{1}{n}\big]\Big)\cap{\mathbb{Q}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\big\{\sqrt{2}\,\big\}\cap{\mathbb{Q}}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\varnothing\,. \end{aligned}$

#5

Αν

αύξουσα ακολουθία ρητών που συγκλίνει στο $\sqrt 2$ και q_n

φθίνουσα ακολουθία ρητών που συγκλίνει στο $\sqrt 2$ τότε
τα $[p_n, q_n]\cap \mathbb Q$ κάνουν τη δουλειά (τετριμμένο).

Η "διαφορά" (αν μπορούμε να την πούμε έτσι) με το παράδειγμα του Σταύρου είναι ότι τώρα τα διαστήματα περιέχουν τα άκρα τους. Φυσικά με την σχετική Τοπολογία και στις δύο περιπτώσεις τα σύνολα είναι κλειστά.

Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

Re: Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

Re: Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

Re: Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

Re: Τομή ακολουθίας κλειστών συνόλων

Μέλη σε σύνδεση