Ύπαρξη μοναδικού ρ

Soniram89 · #1

Μάλλον είναι εύκολη, αλλά για κάποιο λόγο έχω κολλήσει...

$f(x)=1+x+\frac{2}{1+e^{x}}$

Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\rho \epsilon \mathbb{R}$ : $f(\rho )=0$ και $f(-\rho )=4$

Ευχαριστώ πολύ!!!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Soniram89 έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 1:09 pm Μάλλον είναι εύκολη, αλλά για κάποιο λόγο έχω κολλήσει...

$f(x)=1+x+\frac{2}{1+e^{x}}$

Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\rho \epsilon \mathbb{R}$ : $f(\rho )=0$ και $f(-\rho )=4$

Ευχαριστώ πολύ!!!

Δείξε πρώτα ότι
υπάρχει μοναδικό $\rho \epsilon \mathbb{R}$ : $f(\rho )=0$
(εύκολο)
μετά προσπάθησε να αποδείξεις ότι $f(-\rho )=4$

Soniram89 · #3

Εύκολα δείχνουμε: $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ αφού $0\epsilon \mathbb{R}\Rightarrow \exists \rho \epsilon \mathbb{R}:f(\rho )=0$ , επίσης $f'(x)>0 \forall x\epsilon \mathbb{R}\Rightarrow f$ γν. αύξουσα $\Rightarrow \rho$ μοναδικό.

Μετά προσπαθώ να αποδείξω $f(-\rho )=4$ χρησιμοποιώντας : $1+\rho +\frac{2}{1+e^{\rho }}=0$ αλλά ότι πράξεις και να κάνω δεν μπορώ να καταλήξω σε κάποιο συμπέρασμα.

#4

Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\rho \epsilon \mathbb{R}$ : $f(\rho )=0$ και $f(-\rho )=4$

Αυτό συμβαίνει διότι η γραφική παράσταση έχει
κέντρο συμμετρίας το $\displaystyle A(0,2)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Soniram89 έγραψε: Τρί Μαρ 19, 2019 2:17 pm Εύκολα δείχνουμε: $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ αφού $0\epsilon \mathbb{R}\Rightarrow \exists \rho \epsilon \mathbb{R}:f(\rho )=0$ , επίσης $f'(x)>0 \forall x\epsilon \mathbb{R}\Rightarrow f$ γν. αύξουσα $\Rightarrow \rho$ μοναδικό.

Μετά προσπαθώ να αποδείξω $f(-\rho )=4$ χρησιμοποιώντας : $1+\rho +\frac{2}{1+e^{\rho }}=0$ αλλά ότι πράξεις και να κάνω δεν μπορώ να καταλήξω σε κάποιο συμπέρασμα.

Για το $\rho$ που ικανοποιεί την $1+\rho +\frac{2}{1+e^{\rho }}=0$
πρέπει να δείξεις ότι $1-\rho +\frac{2}{1+e^{-\rho }}=4$
Υπολόγισε από την πρώτη το $e^{\rho }$ σαν συνάρτηση του $\rho$ και αντικατέστησε στην δεύτερη.
Θα δεις ότι ισχύει.Μερικές πράξεις είναι.

Soniram89 · #6

Πολύ σωστά κ.Παπαδόπουλε!!! Ξαφνιάστηκα που δεν μου βγήκαν αμέσως οι πράξεις και έψαχνα θεωρητική λύση. Όπως αυτή του exdx. Φυσικά δεν θα το παρατηρούσα ποτέ το κέντρο συμμετρίας. Ευχαριστω πολύ για τη βοήθεια.

Ύπαρξη μοναδικού ρ

Ύπαρξη μοναδικού ρ

Re: Ύπαρξη μοναδικού ρ

Re: Ύπαρξη μοναδικού ρ

Re: Ύπαρξη μοναδικού ρ

Re: Ύπαρξη μοναδικού ρ

Re: Ύπαρξη μοναδικού ρ

Μέλη σε σύνδεση