Αλλαγή μεταβλητής

ann79 · #1

Καλημέρα, όταν κάνουμε αλλαγή μεταβλητής σε ένα όριο, π.χ να θέσουμε $h=x-x_{o}$ με $x\rightarrow x_{o}$ ,
$h\rightarrow 0$ , μπορούμε σε κάποιο μεμονωμένο σημείο του ορίου, να δουλέψουμε πάλι με την μεταβλητή

και όχι με την

;

#2

ann79 έγραψε:Καλημέρα, όταν κάνουμε αλλαγή μεταβλητής σε ένα όριο, π.χ να θέσουμε $h=x-x_{0}$ με $x\rightarrow x_{0}$ , $h\rightarrow 0$ , μπορούμε σε κάποιο μεμονωμένο σημείο του ορίου, να δουλέψουμε πάλι με την μεταβλητή και όχι με την ;

Η έκφραση "κάποιο μεμονωμένο σημείο του ορίου" δεν ευσταθεί μαθηματικά. Εξ ορισμού η έννοια του ορίου (συνάρτησης) σχετίζεται με την συμπεριφορά της συνάρτησης σε ένα διάστημα. Ίσως δίνοντας ένα παράδειγμα κατανοήσουμε τι θέλεις να πεις.

Φιλικά

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ο Γρηγόρης έχει δίκιο ότι δεν ευσταθεί μαθηματικά η έκφραση ''κάποιο μεμονωμένο σημείο του ορίου''.

Νομίζω όμως ότι η ερώτηση είναι η εξής:

Μπορούμε να γράψουμε

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim_{h\rightarrow 0}f(x_{0}+h)=\lim_{x\rightarrow 0}f(x_{0}+x)$

Η απάντηση είναι ΝΑΙ.

Γιατί την μεταβλητή μπορούμε να την βαφτίζουμε όπως μας αρέσει.

π.χ δεν έχει κανένα μαθηματικό πρόβλημα να γράψουμε

$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{\bigstar \rightarrow 0}f(\bigstar )$

Βέβαια είναι αντιαισθητικό.

ann79 · #4

Καλησπέρα, σας ευχαριστώ για την απάντησή σας και τους δύο. Το συγκεκριμένο παράδειγμα που με προβληματίζει είναι το παρακάτω:

Αν για την ορισμένη στο

συνάρτηση f ισχύει $f(x+y)=e^{y}f(x)+e^{x}f(y)$ και η

είναι παραγωγίσιμη στο

, να δείξετε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο

.

Έστω τυχόν $x_{o}\in R$ Για να υπολογίσουμε το $lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{f(x)-f(x_{o})}{x-x_{o}}$ θέτω $x-x_{o}=h, \gamma \iota \alpha x\rightarrow x_{o}, h\rightarrow 0$ , και έχω
$lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{o}+h)-f(x_{o})}{h}=lim_{h\rightarrow 0}[\frac{f(h)}{h}e^{x_{o}}+f(x_{o})\frac{e^{h}-1}{h}]$ (1)

είναι $lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x-x_{o}}-1}{x-x_{o}}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x}-e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}(x-x_{o})}=\frac{e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}}$

'Αρα το όριο 1 δίνει τελικά $f'(0)e^{x_{o}}+f(x_{o})$ και η

είναι παραγωγίσιμη στο

Ο συλλογισμός που η μεταβλητή

"ξαναγυρνάει" σε

είναι σωστός;

#5

ann79 έγραψε:
είναι $lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x-x_{o}}-1}{x-x_{o}}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x}-e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}(x-x_{o})}=\frac{e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}}$
Ο συλλογισμός που η μεταβλητή "ξαναγυρνάει" σε είναι σωστός;

Η εύρεση του παραπάνω ορίου είναι ανεξάρτητη από το ζητούμενο όριο
Μπορείς να επανέλθεις θεωρώντας ως μεταβλητή το $\displaystyle{x}$ ή να αντικαταστήσεις το $\displaystyle{h}$ με κάτι άλλο που εξυπηρετεί
Χρειάζεται όμως να πείς : Θέτω $\displaystyle{h = x - {x_0},\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (x - {x_0}) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} x = {x_0}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

ann79 έγραψε:Καλησπέρα, σας ευχαριστώ για την απάντησή σας και τους δύο. Το συγκεκριμένο παράδειγμα που με προβληματίζει είναι το παρακάτω:

Αν για την ορισμένη στο συνάρτηση f ισχύει $f(x+y)=e^{y}f(x)+e^{x}f(y)$ και η είναι παραγωγίσιμη στο , να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο .

Έστω τυχόν $x_{o}\in R$ Για να υπολογίσουμε το $lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{f(x)-f(x_{o})}{x-x_{o}}$ θέτω $x-x_{o}=h, \gamma \iota \alpha x\rightarrow x_{o}, h\rightarrow 0$ , και έχω
$lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{o}+h)-f(x_{o})}{h}=lim_{h\rightarrow 0}[\frac{f(h)}{h}e^{x_{o}}+f(x_{o})\frac{e^{h}-1}{h}]$ (1)

είναι $lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x-x_{o}}-1}{x-x_{o}}=lim_{x\rightarrow x_{o}}\frac{e^{x}-e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}(x-x_{o})}=\frac{e^{x_{o}}}{e^{x_{o}}}$

'Αρα το όριο 1 δίνει τελικά $f'(0)e^{x_{o}}+f(x_{o})$ και η είναι παραγωγίσιμη στο

Ο συλλογισμός που η μεταβλητή "ξαναγυρνάει" σε είναι σωστός;

Σωστός είναι.

Δεν καταλαβαίνω όμως.

Θες τον υπολογισμό του ορίου $lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h}-1}{h}$

που όπως έγραψε και ο Γιώργης είναι ανεξάρτητο των άλλων.

Κάνεις DHL η λες ότι είναι η παράγωγος της $e^{x}$ στο

και τελειώνεις.

RIS · #7

Καλησπέρα !
Μπορούμε σε κάποιο όριο, στο οποίο το χ τείνει στο 0 , να θέσουμε $x=e^{u}+u-1$
με το u να τείνει στο 0 ;
Αν ναι χρειάζεται αιτιολόγηση ότι το u τείνει στο 0 ;

Λάμπρος Κατσάπας · #8

Καλό βράδυ.

RIS έγραψε: Παρ Μαρ 22, 2019 11:09 pm
το u τείνει στο 0 ;

Μπορείς να το αποδείξεις;

RIS · #9

Καλημέρα.

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Μαρ 22, 2019 11:37 pm Καλό βράδυ.

RIS έγραψε: Παρ Μαρ 22, 2019 11:09 pm
το u τείνει στο 0 ;

Μπορείς να το αποδείξεις;

Δεν μπορούμε απλά να απαιτήσουμε το u να τείνει στο 0 για να εξασφαλίσουμε ότι το χ τείνει στο 0;

Λάμπρος Κατσάπας · #10

RIS έγραψε: Σάβ Μαρ 23, 2019 9:23 am Καλημέρα.
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Μαρ 22, 2019 11:37 pm Καλό βράδυ.

RIS έγραψε: Παρ Μαρ 22, 2019 11:09 pm
το u τείνει στο 0 ;

Μπορείς να το αποδείξεις;
Δεν μπορούμε απλά να απαιτήσουμε το u να τείνει στο 0 για να εξασφαλίσουμε ότι το χ τείνει στο 0;

Αν απαιτήσουμε $u\rightarrow 0$ τότε όντως $x=e^u+u-1\rightarrow 0.$ Εμείς όμως εδώ έχουμε το

''αντίστροφο

'' πρόβλημα. Ξέρουμε ότι $x=e^u+u-1\rightarrow 0$ και θέλουμε να δούμε τι κάνει

το

Δες το παρακάτω:

Αν $x=u^2\rightarrow 1$ τότε $u\rightarrow 1.$ Είναι σωστό;

Υ.Γ. Η αντικατάσταση όντως μπορεί να γίνει αλλά έχει δουλειά για να δείξεις ότι όντως $u\rightarrow0.$

Αν θες γράψε το πρόβλημα που έχεις να λύσεις. Υποψιάζομαι ότι πας να κάνεις τη ζωή σου δύσκολη με μια τέτοια

αντικατάσταση. Μπορεί βέβαια και να σφάλλω.

RIS · #11

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Σάβ Μαρ 23, 2019 7:40 pm
RIS έγραψε: Σάβ Μαρ 23, 2019 9:23 am Καλημέρα.
Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Μαρ 22, 2019 11:37 pm Καλό βράδυ.

RIS έγραψε: Παρ Μαρ 22, 2019 11:09 pm
το u τείνει στο 0 ;

Μπορείς να το αποδείξεις;
Δεν μπορούμε απλά να απαιτήσουμε το u να τείνει στο 0 για να εξασφαλίσουμε ότι το χ τείνει στο 0;
Αν απαιτήσουμε $u\rightarrow 0$ τότε όντως $x=e^u+u-1\rightarrow 0.$ Εμείς όμως εδώ έχουμε το

''αντίστροφο '' πρόβλημα. Ξέρουμε ότι $x=e^u+u-1\rightarrow 0$ και θέλουμε να δούμε τι κάνει

το Δες το παρακάτω:

Αν $x=u^2\rightarrow 1$ τότε $u\rightarrow 1.$ Είναι σωστό;

Υ.Γ. Η αντικατάσταση όντως μπορεί να γίνει αλλά έχει δουλειά για να δείξεις ότι όντως $u\rightarrow0.$

Αν θες γράψε το πρόβλημα που έχεις να λύσεις. Υποψιάζομαι ότι πας να κάνεις τη ζωή σου δύσκολη με μια τέτοια

αντικατάσταση. Μπορεί βέβαια και να σφάλλω.

Ευχαριστώ για την απάντηση !
Το πρόβλημα είνα:
Αν $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=0$
να βρεθεί το όριο $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(e^{x}+x-1)}{x}$
Όντως λύνεται πιο εύκολα διαιρώντας και πολλαπλασιάζοντας με την παράσταση $e^{x}+x-1$ .
Στην άλλη περίπτωση μήπως θα μπορούσατε να δώσετε κάποια υπόδειξη για το πως θα δείξω ότι u->0 ;

Λάμπρος Κατσάπας · #12

RIS έγραψε: Σάβ Μαρ 23, 2019 8:39 pm Όντως λύνεται πιο εύκολα διαιρώντας και πολλαπλασιάζοντας με την παράσταση $e^{x}+x-1$ .
Στην άλλη περίπτωση μήπως θα μπορούσατε να δώσετε κάποια υπόδειξη για το πως θα δείξω ότι u->0 ;

Γράψε τη λύση σου εδώ. Πάντως και πάλι η λύση που προτείνεις θέλει προσοχή.

1. Δες αν επιτρέπεται η διαίρεση με $e^{x}+x-1$ .

2.Δες το θεώρημα αντικατάστασης στα όρια του σχολικού σου βιβλίου και αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του πριν το εφαρμόσεις.

Στην ερώτησή σου τώρα. Αυτό είναι ένα ξεχωριστό πρόβλημα που κατά τη γνώμη μου ξεφεύγει από τα σχολικά πλαίσια.

Αν σε ενδιαφέρει δες τα παρακάτω.

α.Δείξε ότι η $g(u)=e^{u}+u-1$ είναι αντιστρέψιμη.

β. Δείξε, χρησιμοποιώντας το ΘΜΤ, ότι

ικανοποιεί την $|g(x)-g(y)|\geq|x-y|$ για οποιαδήποτε x,y.

γ. Θέσε

στην σχέση του (β) και συμπέρανε ότι $|g^{-1}(a)-g^{-1}(b)|\leq|a-b|$ .

δ. Δείξε από την προηγούμενη σχέση του (γ) ότι η $g^{-1}$ είναι συνεχής στο

. Γράψε τη σχέση της συνέχειας με το όριο.

ε. Θέτοντας x=g(u)

έχεις $g^{-1}(x)=u$ . Αν φτάσεις ως εδώ μετά είναι εύκολο να την τελειώσεις την άσκηση. Μια γραμμή έμεινε.

RIS · #13

Ευχαριστώ πολύ !!
Καλό βράδυ.

Αλλαγή μεταβλητής

Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Re: Αλλαγή μεταβλητής

Μέλη σε σύνδεση