Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Aravella · #1

Πρόκειται για μια άσκηση που με ταλαιπωρεί αρκετή ώρα και την έχω λύσει έως ένα σημείο.

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle {f}''(x)> 0$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon R$ . Αν η $\displaystyle f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $\displaystyle x=0$ με τιμή μηδέν και $\displaystyle f(1)+f(-1)=3$ ,να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάντησης $\displaystyle {f}'$ ,του άξονα $\displaystyle x'x$ και των ευθειών με εξισώσεις $\displaystyle x=1$ και $\displaystyle x=-1$ .

Καμία υπόδειξη;

#2

Aravella έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:18 pm ...Καμία υπόδειξη;

Να γράφουμε τους μαθηματικούς τύπους σε LaTeX.

Aravella · #3

grigkost έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:35 pm
Aravella έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:18 pm ...Καμία υπόδειξη;
Να γράφουμε τους μαθηματικούς τύπους σε LaTeX.

Είμαι από το κινητό και δεν καταλαβαίνω πως λειτουργεί. Και πάλι νομιζω είναι κατανοητό το πρόβλημα.

Tolaso J Kos · #4

Την έλυσα την άσκηση... Βγάζω εμβαδόν . Θα γράψω λύση όταν διορθώσεις τους τύπους ${\rm \LaTeX}$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Aravella έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:18 pm Πρόκειται για μια άσκηση που με ταλαιπωρεί αρκετή ώρα και την έχω λύσει έως ένα σημείο.

Δίνεται η συνάρτηση f:R->R, η οποία είναι δυο φορές παραγωγισιμη με f”(x)>0 για κάθε xεR. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x=0 με τιμή μηδέν και f(1)+f(-1)=3,να βρεθεί το εμβαδόν του χωριού που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάντησης f’,του άξονα x’x και των ευθειων με εξισώσεις x=-1 και x=1.

Καμία υπόδειξη;

Καλό βράδυ. Γράψε το κείμενό σου σε Latex, συμπλήρωσε τόνους εκεί που χρειάζεται και θα σου δώσω υπόδειξη.

#6

Aravella έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:37 pm
grigkost έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:35 pm
Aravella έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:18 pm ...Καμία υπόδειξη;
Να γράφουμε τους μαθηματικούς τύπους σε LaTeX.
Είμαι από το κινητό και δεν καταλαβαίνω πως λειτουργεί. Και πάλι νομιζω είναι κατανοητό το πρόβλημα.

Υπάρχουν εκτεταμένες οδηγίες για το LaTeX στους συνδέσμους της αντίστοιχης ανακοίνωσης "Για τα μέλη που δεν γνωρίζουν την LaTeX" στην αρχική σελίδα.

Aravella · #7

grigkost έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:43 pm
Aravella έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:37 pm
grigkost έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:35 pm
Aravella έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:18 pm ...Καμία υπόδειξη;
Να γράφουμε τους μαθηματικούς τύπους σε LaTeX.
Είμαι από το κινητό και δεν καταλαβαίνω πως λειτουργεί. Και πάλι νομιζω είναι κατανοητό το πρόβλημα.
Υπάρχουν εκτεταμένες οδηγίες για το LaTeX στους συνδέσμους της αντίστοιχης ανακοίνωσης "Για τα μέλη που δεν γνωρίζουν την LaTeX" στην αρχική σελίδα.

Ευχαριστώ πολύ

Tolaso J Kos · #8

Aravella έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:18 pm Πρόκειται για μια άσκηση που με ταλαιπωρεί αρκετή ώρα και την έχω λύσει έως ένα σημείο.

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle {f}''(x)> 0$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon R$ . Αν η $\displaystyle f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $\displaystyle x=0$ με τιμή μηδέν και $\displaystyle f(1)+f(-1)=3$ ,να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάντησης $\displaystyle {f}'$ ,του άξονα $\displaystyle x'x$ και των ευθειών με εξισώσεις $\displaystyle x=1$ και $\displaystyle x=-1$ .

Καμία υπόδειξη;

Ωραία , αφού μπήκε το ${\rm \LaTeX}$ έχομεν και λέμε. Προσπάθησε να αποδείξεις το παρακάτω πίνακα μονοτονίας / προσήμου.

: quicklatex.com-18875884d9cac14b6c7e365caf7e1a28_l3.png (3.9 KiB) Προβλήθηκε 2495 φορές

Οπότε τότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{-1}^{1} \left| f'(x) \right| \; \mathrm{d} x = f(-1)+f(1)=3}$ .

Υ.Σ: Η δουλειά που σου άφησε είναι 2-3 γραμμές. Όχι παραπάνω.

Λάμπρος Κατσάπας · #9

Aravella έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:18 pm Πρόκειται για μια άσκηση που με ταλαιπωρεί αρκετή ώρα και την έχω λύσει έως ένα σημείο.

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle {f}''(x)> 0$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon R$ . Αν η $\displaystyle f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $\displaystyle x=0$ με τιμή μηδέν και $\displaystyle f(1)+f(-1)=3$ ,να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάντησης $\displaystyle {f}'$ ,του άξονα $\displaystyle x'x$ και των ευθειών με εξισώσεις $\displaystyle x=1$ και $\displaystyle x=-1$ .

Καμία υπόδειξη;

Ωραία. Εύκολο ήταν τελικά!

Τι συμπέρασμα βγάζεις για τη μονοτονία της {f}'

από το πρόσημο της {f}''

;

Τι συμπέρασμα βγάζεις από την υπόθεση ότι η $\displaystyle f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $\displaystyle x=0$ με τιμή μηδέν;

Αν απαντήσεις στα παραπάνω που είναι απλά θα είσαι σε θέση να βρεις το πρόσημο της παραγώγου.

Από το τελευταίο θα μπορέσεις να βγάλεις το απόλυτο από το $E=\int_{-1}^{1}\left |{f}'(x) \right |dx$ και να κάνεις τον υπολογισμό.

Διόρθωση τυπογραφικού.

Aravella · #10

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Δευ Απρ 01, 2019 12:06 am
Aravella έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 11:18 pm Πρόκειται για μια άσκηση που με ταλαιπωρεί αρκετή ώρα και την έχω λύσει έως ένα σημείο.

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ , η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με $\displaystyle {f}''(x)> 0$ για κάθε $\displaystyle x\epsilon R$ . Αν η $\displaystyle f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $\displaystyle x=0$ με τιμή μηδέν και $\displaystyle f(1)+f(-1)=3$ ,να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάντησης $\displaystyle {f}'$ ,του άξονα $\displaystyle x'x$ και των ευθειών με εξισώσεις $\displaystyle x=1$ και $\displaystyle x=-1$ .

Καμία υπόδειξη;
Ωραία. Εύκολο ήταν τελικά!

Τι συμπέρασμα βγάζεις για τη μονοτονία της από το πρόσημο της ;

Τι συμπέρασμα βγάζεις από την υπόθεση ότι η $\displaystyle f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $\displaystyle x=0$ με τιμή μηδέν;

Αν απαντήσεις στα παραπάνω που είναι απλά θα είσαι σε θέση να βρεις το πρόσημο της παραγώγου.

Από το τελευταίο θα μπορέσεις να βγάλεις το απόλυτο από το $E=\int_{-1}^{1}\left |f(x) \right |dx$ και να κάνεις τον υπολογισμό.

Εγω θεώρησα οτι επειδή η $\displaystyle {f}''(x)> 0$ , τότε η {f}

είναι κυρτή. Ύστερα εφόσον γνωρίζω ότι $\displaystyle f(0)=0$ και {f}

κυρτή το ακρότατο θα ήταν τοπικό min διαφορετικά δεν θα μπορούσε να είναι παραγωγίσιμη στο 0. Με αυτές τις πληροφορίες έκανα πίνακες προσήμων. Αυτο που με προβλημάτισε είναι ότι δεν γνωρίζω εαν υπάρχει άλλη ρίζα, όμως τώρα κατάλαβα. Επειδή η $\displaystyle {f}''(x)> 0$ , η $\displaystyle {f}'$ είναι γνησίως αύξουσα, επομένως η ρίζα είναι μοναδική. Με αυτόν τον τρόπο μπορώ να βγάλω το απόλυτο για να λύσω το ολοκλήρωμα.

Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Re: Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Re: Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Re: Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Re: Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Re: Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Re: Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Re: Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Re: Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Re: Θεωρητική άσκηση με εμβαδόν χωρίου

Μέλη σε σύνδεση