Ολοκλήρωμα

mick7 · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle\int \sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}dx$

Christos.N · #2

θέτουμε $\sqrt{\sqrt{x^2+1}-x}=u$ άρα $\sqrt{x^2+1}-x=u^2$ εύκολα βλέπουμε ότι $\sqrt{x^2+1}+x=\frac{1}{u^2}$ . Αφαιρούμε την πρώτη από την δεύτερη $x=\frac{1}{2}(\frac{1}{u^2}-u^2)$ βρίσκουμε ότι $dx=-(\frac{1}{u^3}+u)du$ και το ολοκλήρωμα γίνεται :

$\displaystyle\int \sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}dx=-\int u (\frac{1}{u^3}+u)du=-\int \frac{1}{u^2}+u^2 du=\frac{1}{u} -\frac{u^3}{3}$ στο τέλος κάνουμε τις αντικαταστάσεις.

Stelios V8 · #3

Κάνοντας την αλλαγή μεταβλητής $y=\sqrt{x^{2}+1}-x$ έχουμε $x=\frac{1-y^{2}}{2y}$ και $dx=-\frac{1+y^{2}}{2y^{2}}dy$ οπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται $-\int \sqrt{y}\left (\frac{1+y^{2}}{2y^{2}} \right )dy= \frac{3-y^{2}}{3\sqrt{y}}=\sqrt{y}\left ( \frac{1}{y}-\frac{1}{3}y \right )=\frac{2}{3}\sqrt{y}\left ( y+3x \right )=\frac{2}{3}\sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}\left (\sqrt{x^{2}+1}+2x \right )$ συν μια σταθερά .

Μόλις είδα ότι στο διάστημα που την έγραφα απαντήθηκε , την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης .

#4

mick7 έγραψε: Δευ Απρ 22, 2019 8:22 pm Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle\int \sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}dx$

Αν γράψουμε $y= \sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}$ τότε, λύνοντας ως προς

θα βρούμε $x= \dfrac {1-y^4}{2y^2}$ . Με άλλα λόγια η προς ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη της $f(x)= \dfrac {1-x^4}{2x^2}$ . Τώρα, από τον τύπο (γνωστός και βγαίνει με ολοκλήρωση κατά παράγοντες)

$\displaystyle{\int f^{-1}x dx= xf^{-1}(x) -F(f^{-1}(x))}$ όπου

αντιπαράγωγος της

, εδώ $\displaystyle{F(x) = -\frac {1}{2x} - \frac {1}{6}x^3+c}$ έχουμε

$\displaystyle{ \int \sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x} = x\sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x} + \frac {1}{2\sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}} +\frac {1}{6}\left (\sqrt{\sqrt{x^{2}+1}-x}\right )^3+c}$

Edit: Τώρα είδα τα παραπάνω. Το αφήνω για τον κόπο γιατί η πληκτρολόγιση με παίδεψε αφάνταστα.

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση