Ολοκλήρωμα με οπτική...

#1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_0^1 \sqrt{4-x^2}dx.}$ Προφανώς με σχολική ύλη...

Tolaso J Kos · #2

Χαλό Λευτέρη ...

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε: Τρί Απρ 23, 2019 10:17 pm Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_0^1 \sqrt{4-x^2}dx.}$ Προφανώς με σχολική ύλη...

Δουλεύουμε στο παρακάτω σχήμα:

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[thick, blue] (-2, 0) -- (2,0) arc(0:180:2) --cycle; \draw [->, dashed] (-2.5, 0) -- (2.5, 0) node[below]{x}; \draw [->, dashed] (0, 0) -- (0, 3) node[left]{y}; \draw (0, 0) node[below]{O}; \draw (0, 2.3) node[left]{\text{\gr Γ}}; \foreach \i in {-2, -1, 2} { \draw (\i, 0) node[below]{\i}; } \draw [dashed] (1, 0) -- (1, 2.5); \draw [dashed] (0, 0) -- (1, 1.7320); \draw[fill=black] (1, 1.7320) circle (2pt); \draw[fill=black] (0, 0) circle(2pt); \draw[fill=black] (0, 2) circle(2pt); \draw (1, 1.7320) node[right]{A}; \draw (1, 0) node[below]{B}; \draw [shift={(0,0)},color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (0,0) -- (60:0.6) arc (60:90:0.6) -- cycle; \draw [shift={(0,0)},color=green,fill=red,fill opacity=0.1] (0,0) -- (0:0.6) arc (0:60:0.6) -- cycle; \draw[color=gray,fill=gray,fill opacity=0.1] (0,0.42) -- (-0.42,0.42) -- (-0.42,0) -- (0,0) -- cycle; \end{tikzpicture}}$
Άρα το ολοκλήρωμα $\bigintsss_0^1 \sqrt{4-x^2} \; \mathrm{d}x$ είναι ίσο με:

$\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{1} \sqrt{4-x^2} \; \mathrm{d}x &= \left ( \overset{\triangle}{\mathrm{OAB}} \right ) + \left ( \mathrm{E}_{\text{\gr κυκλικού \;\; τομέα}} \right )\\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi \cdot 2 ^2 \cdot \frac{30}{360} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{4\pi}{12} \\ &= \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}}$
αφού η κόκκινη γωνία είναι $60^\circ$ από το τρίγωνο $\mathrm{OAB}$ διότι $\tan \hat{\mathrm{O}} = \sqrt{3}$ ( καθώς $\mathrm{OB}=1 \; , \; \mathrm{AB}=\sqrt{3}$ ). Άρα για τη πράσινη γωνία έχουμε $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ =30^\circ$ . Συνεπώς ο κυκλικός τομέας έχει επίκεντρη γωνία $\mu = 30^\circ$ και άρα εμβαδόν

$\displaystyle{\mathrm{E} = \pi \rho^2 \cdot \frac{\mu}{360}}$
όπου $\rho=2$ .

#3

το σχολικο αναφερει το $\int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx}$ ara αρα $\displaystyle{x==2u...}$

Tolaso J Kos · #4

R BORIS έγραψε: Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am το σχολικο αναφερει το $\int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx}$ ara αρα $\displaystyle{x==2u...}$

Δε καταλαβαίνω !!

stranger · #5

R BORIS έγραψε: Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am το σχολικο αναφερει το $\int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx}$ ara αρα $\displaystyle{x==2u...}$

Αλλάζουν τα άκρα ολοκλήρωσης αν θέσεις x=2u

.

apotin · #6

R BORIS έγραψε: Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am το σχολικο αναφερει το $\int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx}$ ara αρα $\displaystyle{x==2u...}$

Που και τι αναφέρει;

Tolaso J Kos · #7

apotin έγραψε: Τετ Απρ 24, 2019 8:02 am
R BORIS έγραψε: Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am το σχολικο αναφερει το $\int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx}$ ara αρα $\displaystyle{x==2u...}$
Που και τι αναφέρει;

Το σχολικό έχει μία εφαρμογή λυμένη στο "Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου".

: 90dcc15d-c34d-4576-8876-761bde7c266e.png (211.52 KiB) Προβλήθηκε 2340 φορές

Αλλά πώς σχετίζεται αυτή με το θέμα που συζητάμε αφού ζητάμε σχολική λύση; Η εφαρμογή είναι εκτός διδακτέας και εξεταστέας ύλης συνεπώς ο μαθητής δε μπορεί να χρησιμοποιήσει την αντικατάσταση $x=2\sin t$ . Βέβαια, διδάσκεται στα φροντιστήρια! Τα ωραία της εκπαίδευσης μας!!

apotin · #8

Tolaso J Kos έγραψε: Τετ Απρ 24, 2019 10:00 am
apotin έγραψε: Τετ Απρ 24, 2019 8:02 am
R BORIS έγραψε: Τετ Απρ 24, 2019 12:38 am το σχολικο αναφερει το $\int_{0}^{1}{\sqrt{1-x^2}dx}$ ara αρα $\displaystyle{x==2u...}$
Που και τι αναφέρει;

Το σχολικό έχει μία εφαρμογή λυμένη στο "Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου".

Αλλά πώς σχετίζεται αυτή με το θέμα που συζητάμε αφού ζητάμε σχολική λύση; Η εφαρμογή είναι εκτός διδακτέας και εξεταστέας ύλης συνεπώς ο μαθητής δε μπορεί να χρησιμοποιήσει την αντικατάσταση $x=2\sin t$ . Βέβαια, διδάσκεται στα φροντιστήρια! Τα ωραία της εκπαίδευσης μας!!

Αυτό αναρωτιέμαι

Ολοκλήρωμα με οπτική...

Ολοκλήρωμα με οπτική...

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

Re: Ολοκλήρωμα με οπτική...

Μέλη σε σύνδεση