3Β-Κωνικές τομές

Α.Κυριακόπουλος · #1

Έστω η εξίσωση:
$\displaystyle{\lambda x + \sqrt {4 - {\lambda ^2}} \cdot y - 2 = 0}$ . (1)
1) Να βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{\lambda \in R}$ , για τους οποίους η εξίσωση (1) παριστάνει μια ευθεία $\displaystyle{{\varepsilon _\lambda }}$ . Έστω Σ το σύνολο των αριθμών αυτών.
2) Να αποδείξετε ότι όταν το λ διατρέχει το σύνολο Σ ,οι ευθείες $\displaystyle{{\varepsilon _\lambda }}$ εφάπτονται σε ένα σταθερό κύκλο, του οποίου να βρείτε την εξίσωση.
( Από το βιβλίο των Κώστα και Αντώνη Κυριακόπουλου: « ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ» θετικής κατεύθυνσης, τόμος 2: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ, σελ.250 άσκηση3- Δεν κυκλοφορεί, έχει εξαντληθεί).

mathxl · #2

Κύριε Αντώνη με την απάντηση αυτή καληνυχτώ το μαθημάτικα
Α. Η εξίσωση ΄για να παριστάνει ευθεία θα πρέπει Α<>0 ή Β<>0 και να ορίζεται η τετραγωνική ρίζα. Αν έκανα καλά τις πράξεις τότε η εξίσωση παριστάνει ευθεία για -2=<λ=<2
Β. ο Κύκλος χ^2+ψ^2=1 εφάπτεται της ευθείας

#3

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Έστω η εξίσωση:
$\displaystyle{\lambda x + \sqrt {4 - {\lambda ^2}} \cdot y - 2 = 0}$ . (1)
1) Να βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{\lambda \in R}$ , για τους οποίους η εξίσωση (1) παριστάνει μια ευθεία $\displaystyle{{\varepsilon _\lambda }}$ . Έστω Σ το σύνολο των αριθμών αυτών.
2) Να αποδείξετε ότι όταν το λ διατρέχει το σύνολο Σ ,οι ευθείες $\displaystyle{{\varepsilon _\lambda }}$ εφάπτονται σε ένα σταθερό κύκλο, του οποίου να βρείτε την εξίσωση.
( Από το βιβλίο των Κώστα και Αντώνη Κυριακόπουλου: « ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ» θετικής κατεύθυνσης, τόμος 2: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ, σελ.250 άσκηση3- Δεν κυκλοφορεί, έχει εξαντληθεί).

για $\lambda\in[-2,2]$ , η (1) πριστάνει ευθεία
και εφάπτεται στον μοναδιαίο κύκλο C:x^2+y^2=1

,αφού η απόσταση του κέντρου Ο(0,0) από την ευθεία ισούται με την ακτίνα του κύκλου..(=1)

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

Επειδή παρακολουθούν και μαθητές, η ανακάλυψη του σταθερού κύκλου, ίσως μπορεί να εξηγηθεί ως εξής:
Για λ = -2, ε: x = -1.
Για λ = 2, ε: x = 1.
Για λ = 0, ε: y = 1.
Εύκολα παρατηρούμε ότι οι τρείς ευθείες εφάπτονται του κύκλου, $\displaystyle{x^2 + y^2 = 1}$
Καληνύχτα.

Φιλικά Χρήστος

Α.Κυριακόπουλος · #5

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Έστω η εξίσωση:
$\displaystyle{\lambda x + \sqrt {4 - {\lambda ^2}} \cdot y - 2 = 0}$ . (1)
1) Να βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{\lambda \in R}$ , για τους οποίους η εξίσωση (1) παριστάνει μια ευθεία $\displaystyle{{\varepsilon _\lambda }}$ . Έστω Σ το σύνολο των αριθμών αυτών.
2) Να αποδείξετε ότι όταν το λ διατρέχει το σύνολο Σ ,οι ευθείες $\displaystyle{{\varepsilon _\lambda }}$ εφάπτονται σε ένα σταθερό κύκλο, του οποίου να βρείτε την εξίσωση.
( Από το βιβλίο των Κώστα και Αντώνη Κυριακόπουλου: « ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ» θετικής κατεύθυνσης, τόμος 2: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ, σελ.250 άσκηση3- Δεν κυκλοφορεί, έχει εξαντληθεί).

Όπως παρατήρησε και ο Χρήστος πρέπει να εξηγήσουμε πώς βρήκαμε τον κύκλο με εξίσωση: $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = 1}$ . Και όχι μόνο για τους μαθητές. Έχω τη γνώμη ότι τη λύση κάθε άσκησης πρέπει να την παρουσιάζουμε ολοκληρωμένη ,σαν μια μικρή «πραγματεία». Ανεξάρτητα σε ποιον απευθυνόμαστε. Με όλες τις απαραίτητες επεξηγήσεις. Βεβαίως, με συντομία και σαφήνεια. Και αυτό δεν είναι καθόλου εύκολο. Εξάλλου, δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι από τα μαθηματικά οι μαθητές θα μάθουν να διατυπώνουν σωστά και ολοκληρωμένα επιχειρήματα με σαφήνεια,με συντομία και χωρίς κενά. Με άλλα λόγια, πρέπει να εκπαιδευτούν ώστε, στις διάφορες περιπτώσεις που θα τους παρουσιαστούν, να ξέρουν τι θα πουν, πότε θα το πουν και γιατί θα το πουν.
Λοιπόν, η δική μου λύση είναι η εξής:
1) Για έναν αριθμό $\displaystyle{\lambda \in R}$ η εξίσωση (1) παριστάνει μια ευθεία αν, και μόνο αν:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 4 - {\lambda ^2} \ge 0 \\ \left( {\lambda \ne 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }}\sqrt {4 - {\lambda ^2}} \ge 0} \right) \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow {\lambda ^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le \lambda \le 2}$ .
Άρα: $\displaystyle{\Sigma = \left[ { - 2,2} \right]}$ .
2) Μία ευθεία $\displaystyle{{\varepsilon _\lambda }}$ , όπου $\displaystyle{\lambda \in \Sigma }$ , εφάπτεται σε ένα κύκλο με κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ>0 αν, και μόνον αν:
$\displaystyle{d({\rm K},{\varepsilon _\lambda }) = \rho \Leftrightarrow \frac{{\left| {\lambda \alpha + \sqrt {4 - {\lambda ^2}} \cdot \beta - 2} \right|}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 4 - {\lambda ^2}} }} = \rho \Leftrightarrow \left| {\lambda \alpha + \sqrt {4 - {\lambda ^2}} \cdot \beta - 2} \right| = 2\rho }$ . (2)
Θα βρούμε τους αριθμούς α, β και ρ, για τους οποίους η ισότητα (2) ισχύει για κάθε
$\displaystyle{\lambda \in \Sigma }$ .
α) Έστω ότι η ισότητα (2) ισχύει για κάθε $\displaystyle{\lambda \in \Sigma }$ . Από την (2) με λ=2, λ=-2 και λ=0 βρίσκουμε αντίστοιχα ότι:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \left| {2\alpha - 2} \right| = 2\rho \\ \left| { - 2\alpha - 2} \right| = 2\rho \\ \left| {2\beta - 2} \right| = 2\rho \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {\alpha - 1} \right| = \rho \\ \left| {\alpha + 1} \right| = \rho \\ \left| {\beta - 1} \right| = \rho \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {\alpha + 1} \right| = \left| {\alpha - 1} \right| \\ \rho = \left| {\alpha + 1} \right| \\ \left| {\beta - 1} \right| = \rho \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha = 0 \\ \rho = 1 \\ \left( {\beta = 2{\rm{ }} \vee {\rm{ }}\beta {\rm{ = 0}}} \right) \\ \end{array} \right.}$
β) Αντιστρόφως.
• Έστω ότι α=0, β=2 και ρ=1. Τότε, όπως βρίσκουμε εύκολα, η (2) δεν ισχύει για κάθε $\displaystyle{\lambda \in \Sigma }$ .
• Έστω ότι α=β=0 και ρ=1. Τότε. όπως βρίσκουμε εύκολα, η (2) ισχύει για κάθε $\displaystyle{\lambda \in \Sigma }$ .
Άρα. όλες οι ευθείες $\displaystyle{{\varepsilon _\lambda }}$ , όπου $\displaystyle{\lambda \in \Sigma }$ , εφάπτεται στον κύκλο με κέντρο το σημείο (0,0) και ακτίνα ρ=1. Η εξίσωσή του είναι: $\displaystyle{{x^2} + {y^2} = 1}$ .

mathxl · #6

Καλό βράδυ να περιγράψω το πως σκέφτηκα, μόνο για το Β

Βρήκα την απόσταση και είδα ότι ο παρονομαστής είναι ανεξάρτητος του λ. Επειδή θέλω το ίδιο να συμβαίνει και στον αριθμητή για να έχω σταθερό κύκλο, "είδα" ότι το λ εξαφανίζεται όταν το κέντρο είναι η αρχή των αξόνων (εξαφανίζεται και σε άλλες περιπτώσεις αλλά χωρίς να παίρνουμε σταθερό κέντρο).

Από την άλλη μεριά όμως έχουμε
$\displaystyle{ - 2 \le \lambda \le 2 \Leftrightarrow - 1 \le \frac{\lambda }{2} \le 1}$
και είπα...να ένα ωραίο συνημίτονο και έθεσα το λ/2 = συνθ.
Βρήκα τούτο
$\displaystyle{\begin{array}{l} \lambda x + \sqrt {4 - {\lambda ^2}} \cdoty - 2 = 0 \Leftrightarrow \\ \frac{\lambda }{2}x + y\sqrt {1 - {{\left( {\frac{\lambda }{2}} \right)}^2}} = 1 \Leftrightarrow \\ x\sigma \upsilon \nu \theta + y\left| {\eta \mu \theta } \right| = 1 \\ \end{array}}$
και σκέφτηκα την κανονική μορφή της εξίσωσης της ευθείας. Έπειτα από το 1 του β΄μέλους φαίνεται (ο αριθμός στο β΄μέλος εκφράζει απόσταση) ότι η αρχή των αξόνων θα απέχει πάντα απόσταση 1 από την ευθεία, άρα το σημείο επαφής έχει την ιδιότητα να απέχει πάντα 1 από το Ο και θα ανήκει σε κύκλο (Ο,1). Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ο κύκλος αυτός εφάπτεται της ευθείας

GiannisL · #7

Και μια "απάντηση" με geogebra

3Β-Κωνικές τομές

3Β-Κωνικές τομές

Re: 3Β-Κωνικές τομές

Re: 3Β-Κωνικές τομές

Re: 3Β-Κωνικές τομές

Re: 3Β-Κωνικές τομές

Re: 3Β-Κωνικές τομές

Re: 3Β-Κωνικές τομές

Μέλη σε σύνδεση