Είναι το μέσο...

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Έστω τρίγωνο ABC

με

και έστω

το μέσο της AB.

Προεκτείνουμε την

κατά τμήμα

έτσι, ώστε $DE=\dfrac{AC}{2}.$

Από το

φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο

της γωνίας

η οποία τέμνει τη

στο

και την

στο

.Να αποδείξετε ότι το

είναι το μέσο της BC.

24 ώρες για τους μαθητές. Όποιος μπορεί να κάνει το σχήμα θα του είμαι ευγνώμων.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλό απόγευμα σε όλους. Θέτω σχήμα στο ωραίο θέμα του Λάμπρου.

: Είναι το μέσο..Λ.Κ.PNG (10.83 KiB) Προβλήθηκε 1385 φορές

Φιλικά Γιώργος.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Παρ Μάιος 17, 2019 5:12 pm Καλό απόγευμα σε όλους. Θέτω σχήμα στο ωραίο θέμα του Λάμπρου.
Είναι το μέσο..Λ.Κ.PNG
Φιλικά Γιώργος.

Ευχαριστώ πολύ κ. Γιώργο. Να'στε καλά.

Ιστοσελίδα · #4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Μάιος 17, 2019 4:26 pm Έστω τρίγωνο με και έστω το μέσο της

Προεκτείνουμε την κατά τμήμα έτσι, ώστε $DE=\dfrac{AC}{2}.$

Από το φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας η οποία τέμνει τη

στο και την στο .Να αποδείξετε ότι το είναι το μέσο της

24 ώρες για τους μαθητές. Όποιος μπορεί να κάνει το σχήμα θα του είμαι ευγνώμων.

Όμορφη άσκηση!

: shape.png (14.92 KiB) Προβλήθηκε 1285 φορές

Έστω $S \equiv EM \cap AC$ ,

το μέσο της

και

το σημείο τομής της

με την παράλληλη από το

προς την

Τα τρίγωνα AES,CST

είναι προφανώς ισοσκελή και από $AS = AE \Leftrightarrow NS = \dfrac{{AB}}{2}$

Επίσης, από $DE\mathop = \limits^{AC/2} NC \Leftrightarrow BE = SC = CT$

Τέλος, από $\triangle MBE\mathop = \limits^{\Gamma - \Pi - \Gamma } \triangle MCT \Rightarrow MB = MC$

Στο σημείο αυτό και με αφορμή αυτή τη φράση

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Μάιος 17, 2019 4:26 pm 24 ώρες για τους μαθητές.

θέλω να κάνω μία παρατήρηση.

Το τελευταίο διάστημα, αρκετοί εισηγητές δίνουν κάποιο χρόνο στους μαθητές (12 ώρες, 24 ώρες κ.λ.π).

Θέλω να πιστεύω πως στο mathematica.gr είμαστε όλοι μαθητές (μικροί-μεγάλοι), τουλάχιστον έτσι εγώ αισθάνομαι.

Άλλωστε υπάρχουν αρκετοί μικροί (σε ηλικία), όπως οι: Ορέστης Λιγνός, Διονύσιος Αδαμόπουλος, Αφοι Φωτιάδη και άλλοι, που μας αφήνουν άφωνους με τις εκπληκτικές τους γνώσεις και λύσεις!

Να μην ξεχνάμε ότι υπάρχει η στήλη «Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές» (1) με τον κανονισμό της, η οποία έχει μείνει ανενεργή για πάνω από δύο χρόνια…

Πιστεύω, λοιπόν, ότι όταν μπαίνει μια άσκηση εκτός της στήλης (1), το σωστό είναι να μην έχει χρονικούς περιορισμούς και να είναι ανοιχτή για όλους.

Ευχαριστώ!

#5

Έστω

το σημείο τομής των $EM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ . Φέρνω κι από το

κάθετη στην διχοτόμο

που τέμνει την

στο

. Προφανώς TB//SM

.

Θέτω : $AB = 2m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 2k$ .

Είναι : $AE = AS \Rightarrow AC - SC = AD + DE \Rightarrow 2k - SC = m + k \Rightarrow \boxed{SC = k - m}\,\,(1)$

: είναι το μέσο_new_1.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 1265 φορές

Από την άλλη μεριά αφού και

$AB = AT \Rightarrow TC = AC - AB = 2k - 2m = 2(k - m) = 2SC$ , άρα $TC = 2SC \Rightarrow \boxed{TS = SC}\,\,(2)$

Στο τρίγωνο BTC

το

είναι μέσο της πλευράς του

και η

, άρα το

είναι μέσο της πλευράς

.

#6

Άλλη μια αλλά με το επίπεδο λεπτομέρειας που θα απαιτούσα να τη παρουσιάσει ο μαθητής .

Αν τεθεί όμως έτσι σε εξετάσεις,χωρίς επί μέρους ερωτήματα, θα είναι αρκετά δύσκολη για τους περισσότερους μαθητές.

Έστω

το μέσο του

και

το σημείο τομής των ευθειών $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM$ .

Επειδή στο τρίγωνο AES

η

είναι ταυτόχρονα ύψος και διχοτόμος , αυτό είναι ισοσκελές.

Αν η παράλληλη από το

κόψει την

στο

, τότε προφανώς και το τρίγωνο BET

είναι ισοσκελές.

Θέτω $\boxed{AB = 2m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC = 2k}$

: είναι το μέσο.png (25.98 KiB) Προβλήθηκε 1254 φορές

Επειδή $\left\{ \begin{gathered} BE = AE - AB = AD + DE - AB = m + k - 2m = k - m\,\,\,(1) \hfill \\ SC = AC - AS = AC - AE = AC - (AD + DE) = 2k - (m + k) = k - m\,\,\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Θα είναι BE = SC

και αφού το $\vartriangle BET$ είναι ισοσκελές , τελικά: $\boxed{BT// = SC}$

Η τελευταία μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο BTCS

είναι παραλληλόγραμμο

Συνεπώς οι διαγώνιοι του θα διχοτομούνται κι έτσι $\boxed{BM = MC}$ .

Επί της ουσίας είναι μια παραλλαγή της λύσης του φίλου μου του Μιχάλη .

Altrian · #7

Καλησπέρα σε όλους.
Μια ακόμα λύση για λόγους πλουραλισμού.

Από το

φέρουμε κάθετη στην διχοτόμο που την τέμνει στο

. $DP=\dfrac{AB}{2}=m$ ως διάμεσος ορθογωνίου. Επίσης εύκολα προκύπτει ότι FS=m

παρ/μο $\Rightarrow BM=PS=DF=\dfrac{BC}{2}$

Λάμπρος Κατσάπας · #8

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Σάβ Μάιος 18, 2019 7:53 am
Το τελευταίο διάστημα, αρκετοί εισηγητές δίνουν κάποιο χρόνο στους μαθητές (12 ώρες, 24 ώρες κ.λ.π).

Θέλω να πιστεύω πως στο mathematica.gr είμαστε όλοι μαθητές (μικροί-μεγάλοι), τουλάχιστον έτσι εγώ αισθάνομαι.

Άλλωστε υπάρχουν αρκετοί μικροί (σε ηλικία), όπως οι: Ορέστης Λιγνός, Διονύσιος Αδαμόπουλος, Αφοι Φωτιάδη και άλλοι, που μας αφήνουν άφωνους με τις εκπληκτικές τους γνώσεις και λύσεις!

Να μην ξεχνάμε ότι υπάρχει η στήλη «Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές» (1) με τον κανονισμό της, η οποία έχει μείνει ανενεργή για πάνω από δύο χρόνια…

Πιστεύω, λοιπόν, ότι όταν μπαίνει μια άσκηση εκτός της στήλης (1), το σωστό είναι να μην έχει χρονικούς περιορισμούς και να είναι ανοιχτή για όλους.

Ευχαριστώ![/color]

Μιχάλη γεια χαρά.

Θα το ακολουθήσω. Ευχαριστώ για την παρατήρηση και τη λύση.

Γιώργος Μήτσιος · #9

Χαιρετώ τους φίλους! Από το αρχικό σχήμα έχουμε $\widehat{AEM}\equiv \widehat{AEK}=90^{0}-\theta ..\left ( 1 \right )$ .

: Είναι το μέσο Β..Λ.Κ.PNG (9.32 KiB) Προβλήθηκε 1162 φορές

Έστω $\Lambda$ ( όπως λέμε Λάμπρος!) το μέσον της

. Τότε $D\Lambda \parallel AC$ και $D\Lambda =AC/2=DE$ , έτσι $\widehat{DE\Lambda }=\dfrac{180^{0}-\widehat{D}}{2}=90^{0}-\theta ..\left ( 2 \right )$ .

Άρα $M\equiv \Lambda$ δηλ. το

είναι το μέσον της

. Φιλικά , Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #10

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Μάιος 17, 2019 4:26 pm Έστω τρίγωνο με και έστω το μέσο της

Προεκτείνουμε την κατά τμήμα έτσι, ώστε $DE=\dfrac{AC}{2}.$

Από το φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας η οποία τέμνει τη

στο και την στο .Να αποδείξετε ότι το είναι το μέσο της

24 ώρες για τους μαθητές. Όποιος μπορεί να κάνει το σχήμα θα του είμαι ευγνώμων.

Είναι $\displaystyle AE = AL = \frac{{AB + AC}}{2} \Rightarrow BE = LC = \frac{{AC - AB}}{2}$ .Ακόμη, $\displaystyle \angle E = \frac{{B + C}}{2} \Rightarrow y = \frac{{B - C}}{2}$

Με $\displaystyle Q$ συμμετρικό του $\displaystyle B$ ως προς $\displaystyle K$ $\displaystyle \Rightarrow LQ = //BE = LC$ .Άρα, $\displaystyle \angle QLC = A$ και

$\displaystyle \angle x + C = \angle \frac{{B + C}}{2} \Rightarrow x = \angle \frac{{B - C}}{2} = y \Rightarrow MK//QC$

Αλλά $\displaystyle BK = KQ$ άρα $\displaystyle \boxed{BM = MC}$

: μέσον....png (15.56 KiB) Προβλήθηκε 1157 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #11

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Παρ Μάιος 17, 2019 4:26 pm Έστω τρίγωνο με και έστω το μέσο της

Προεκτείνουμε την κατά τμήμα έτσι, ώστε $DE=\dfrac{AC}{2}.$

Από το φέρουμε κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας η οποία τέμνει τη

στο και την στο .Να αποδείξετε ότι το είναι το μέσο της

24 ώρες για τους μαθητές. Όποιος μπορεί να κάνει το σχήμα θα του είμαι ευγνώμων.

Και μια εκτός φακέλλου

Στο ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle AEL$ τα ύψη του $\displaystyle ES,LT$ είναι ίσα,κι επειδή $\displaystyle BE = LC = \frac{{AC - AB}}{2}$ θα είναι

$\displaystyle \left( {ELC} \right) = \left( {EBL} \right) \Rightarrow \left( {BEK} \right) = \left( {KEC} \right) \Rightarrow M$ μέσον της $\displaystyle BC$

: μέσον...png (17.73 KiB) Προβλήθηκε 1120 φορές

Είναι το μέσο...

Είναι το μέσο...

Re: Είναι το μέσο...

Re: Είναι το μέσο...

Re: Είναι το μέσο...

Re: Είναι το μέσο...

Re: Είναι το μέσο...

Re: Είναι το μέσο...

Re: Είναι το μέσο...

Re: Είναι το μέσο...

Re: Είναι το μέσο...

Re: Είναι το μέσο...

Μέλη σε σύνδεση