Μία με κυρτές συναρτήσεις

#1

Μετά από τα όσα όμορφα μας έγραψε ο Μιχάλης θα δώσω μία άσκηση που σχετίζεται κάπως με εκέινη του gouvieros (viewtopic.php?f=5&t=97)

Να αποδείξετε ότι αν η

είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και για κάθε x_0

ισχύει $\,f\left( x\right) > f^{\prime }\left( x_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) +f\left( x_{0}\right)$ για όλα τα $x\neq x_{0}$ τότε η

είναι κυρτή (δηλαδή η παράγωγος της είναι γνησίως αύξουσα).

Μαυρογιάννης

#2

Έστω χ1, χ2 σημεία του διαστήματος, με χ1<χ2. Για το χ1 απο τη δοθείσα θα ισχύει:
f(x)>f'(x1)(x-x1)+f(x1) για κάθε χ στο διάστημα, άρα και για χ2, προκύπτει:
f(x2)>f'(x1)(x2-x1)+f(x1) (1).
Mε όμοιο τρόπο για το χ2 έχουμε: f(x)>f'(x2)(x-x2)+f(x2) για κάθε χ στο διάστημα, συνεπώς και για χ=χ1.
Αρα f(x1)>f'(x2)(x1-x2)+f(x2) (2).
Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχουμε, μετά απο πράξεις : (f'(x1)-f'(x2))(x2-x1)<0 δηλαδή
f'(x1)-f'(x2)<0 ή f'(x1)<f'(x2), αρα η f ' γνησίως αύξουσα, συνεπώς η f κυρτή στο διάστημα.

Υ.Γ.1 ισχύει ακριβώς το ίδιο, όπως και για την πρηγούμενη άσκηση... Συγνώμη, αν κάποιος έχει ήδη απαντήσει...
Υ.Γ.2 Να συμπληρώσω πως όντως το σχόλιο του Μιχάλη Λάμπρου ήταν εξαιρετικά σπαρταριστό, αλλά και διδακτικότατο γιατί όσοι συνάδελφοι δίνουν στο διαγωνισμό του ΑΣΕΠ, έχουν τώρα στο οπλοστάσιο τους, πολλές δραστηριότητες για το θεώρημα του Rolle!! (που το πάω, που το φέρνω, όλο στο ίδιο καταλήγω...)

#3

nsmavrogiannis έγραψε:Μετά από τα όσα όμορφα μας έγραψε ο Μιχάλης θα δώσω μία άσκηση που σχετίζεται κάπως με εκέινη του gouvieros (viewtopic.php?f=5&t=97)

Να αποδείξετε ότι αν η είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και για κάθε ισχύει $\,f\left( x\right) > f^{\prime }\left( x_{0}\right) \left( x-x_{0}\right) +f\left( x_{0}\right)$ για όλα τα $x\neq x_{0}$ τότε η είναι κυρτή (δηλαδή η παράγωγος της είναι γνησίως αύξουσα).

Μαυρογιάννης

Να τονίσω κι' εγώ ότι από πολλούς γεωμετρικούς δρόμους όπως ο παραπάνω, μπορούμε να καταλήξουμε στην κυρτότητα Δείτε την επόμενη διεύθυνση
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=158545
νομίζω ότι είναι ενδιαφέρον αφού δεν υπάρχει στην γνωστή μου βιβλιογραφία

#4

R BORIS έγραψε: ... Δείτε την επόμενη διεύθυνση
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=158545
νομίζω ότι είναι ενδιαφέρον αφού δεν υπάρχει στην γνωστή μου βιβλιογραφία

Θά παρακαλούσαμε τόν συνάδελφο Ροδόλφο Μπόρη ( R BORIS ) νά καταχωρήσει τό αρχείο του τού παραπάνω συνδέσμου, είτε μέ τήν μορφή .doc, είτε μέ τήν μορφή .pdf, στά αρχεία τού mathematica.gr.

Μία με κυρτές συναρτήσεις

Μία με κυρτές συναρτήσεις

Re: Μία με κυρτές συναρτήσεις

Re: Μία με κυρτές συναρτήσεις

Re: Μία με κυρτές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση